미분가능 함수열

 

Observation

구간 $I$,  $f_{n} \in \mathcal{D}(I)$,  $f_{n} \to f$ (or $f_{n} \rightrightarrows f$)

1. $f \in \mathcal{D}(I)$?  No!

 

예) $f_{n}(x) = \frac{1 - x}{1 + x^{n}}$,  $x \in [0, 2]$

 

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) = \begin{cases}
1 - x & \text{ if } \;\; 0 \leq x < 1 \\
0 & \text{ if } \;\; 1 \leq x \leq 2 
\end{cases} = f(x)$

 

$\therefore$  $f_{n} \in \mathcal{D}[0, 2]$,  $f_{n} \to f$ on $[0, 2]$ 하지만 $f \notin \mathcal{D}[0, 2]$

 

2. $f \in \mathcal{D}(I)$이면 $f_{n}' \to f'$?  No!

 

예) $f_{n}(x) = \frac{\mathrm{sin}(nx)}{\sqrt{n}}$,  $x \in [0, \pi]$

모든 $x \in [0, \pi]$에 대하여 $\left|f_{n}(x) \right| \leq \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$  as  $n \to \infty$

 

$\therefore$  $f_{n} \rightrightarrows f = 0$ on $[0, \pi]$  &  $f \in \mathcal{D}[0, \pi]$

하지만 $f_{n}'(x) = \sqrt{n}\mathrm{cos}nx \nrightarrow f'(x) = 0$

 

 

 

정리1

$f_{n} \in \mathcal{D}[a, b]$이 두 조건

$(\mathrm{i})$ 어떤 점 $x_{0} \in [a, b]$에 대하여 $\left<f_{n}(x_{0}) \right> $가 수렴

$(\mathrm{ii})$ $\left<f_{n}' \right> $가 $[a, b]$ 위에서 어떤 함수에 평등수렴

을 만족하면

1. $\left<f_{n}(x_{0}) \right> $은 $[a, b]$ 위에서 어떤 함수 $f$에 평등수렴

2. $f \in \mathcal{D}[a, b]$  &  모든 $x \in [a, b]$에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x) = f'(x)$

 

pf)

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  조건 $(\mathrm{i})$, $(\mathrm{ii})$에 의해 적당한 $K \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $n, m \geq K$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \right| < \frac{\varepsilon }{2}$

  $n, m \geq K$,  $x \in [a, b]$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}'(x_{0}) - f_{m}'(x_{0}) \right| < \frac{\varepsilon }{2(b-a)}$

  를 만족한다.

 

  $n, m \geq K$일 때 $f_{n} - f_{m}$에 평균값 정리를 적용하면

  임의의 $x, t \in [a, b]$에 대하여 적당한 $t_{x}$ ($x$와 $t$사이의 수)가 존재하여

  $\left|(f_{n}(x) - f_{m}(x)) - (f_{n}(t) - f_{m}(t) ) \right| $ $= \left|x - t \right| \left|f_{n}'(t_{x}) - f_{m}'(t_{x}) \right|$                    ①

                                                                               $< \left|x - t \right| \frac{\varepsilon }{2(b - a)} \leq \frac{\varepsilon }{2}$                

  를 만족한다.

 

  $\therefore$  $n, m \geq K$  &  $x \in [a, b]$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right|$

                                                         $\leq \left|f_{n}(x) - f_{m}(x) - (f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) ) \right| + \left|f_{n}(x_{0}) - f_{m}(x_{0}) \right|$

                                                         $< \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

 

  $\therefore$  $\left<f_{n}(x_{0}) \right> $은 $[a, b]$ 위에서 어떤 함수 $f$에 평등수렴

 

  임의의 $x \in [a, b]$를 택하자.

  $h_{n}(t) = \begin{cases}
\frac{f_{n}(t) - f_{n}(x)}{t - x} &  t \in [a, b] - \left\{x \right\} \\
f_{n}'(x) &  t= x
\end{cases}$

  $h : [a, b] - \left\{x \right\} \to \mathbb{R}$,   $h(t) = \frac{f(t) - f(x)}{t - x}$

  라 하면 $f_{n} \in \mathcal{D}[a, b]$이므로 $\left<h_{n} \right>$은 연속함수열이다.

 

  1.의 증명 ①에 의해

  $n, m \geq K, \; t \in [a, b] - \left\{x \right\} $  $\Rightarrow$  $\left|h_{n}(t) - h_{m}(t) \right| < \frac{\varepsilon }{2(b-a)}$

  $\therefore$  $\left<h_{n} \right>$은 $[a, b] - \left\{x \right\}$ 위에서 평등수렴한다.

 

  $\left<f_{n} \right>$이 $f$에 평등수렴하므로 $\left<h_{n} \right>$은 $[a, b] - \left\{x \right\}$ 위에서 $h$에 평등수렴한다.

  이때 $\left<f_{n}' \right> $가 $[a, b]$ 위에서 어떤 함수에 평등수렴하므로 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} h_{n}'(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x)$가 존재한다.

  따라서 $\displaystyle \lim_{t \to x} h(t) = \displaystyle \lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x} $가 존재하고 $ \displaystyle \lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x} = \displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x)$이다.

  (수열-평등수렴하는 연속함수열의 특징편 정리3 참고)

 

  $\therefore$  $f \in \mathcal{D}[a, b]$  &  모든 $x \in [a, b]$에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}'(x) = f'(x)$

 

 

 

따름정리

$f_{n} \in \mathcal{D}[a, b]$이 두 조건

$(\mathrm{i})$ 어떤 점 $x_{0} \in [a, b]$에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x_{0}) $가 수렴

$(\mathrm{ii})$ $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}' $가 $[a, b]$에서 어떤 함수에 평등수렴

을 만족하면

1. $\sum_{n=1}^{\infty}f_{n}(x_{0}) $은 $[a, b]$에서 어떤 함수 $f$에 평등수렴

2. $f \in \mathcal{D}[a, b]$  &  모든 $x \in [a, b]$에 대해 $\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}'(x) = f'(x)$

 

 

 

정리2

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$의 수렴반지름이 $R > 0$일 때

$f$는 $(-R, R)$에서 미분가능하고 $f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$  $(\left|x \right| < R)$

 

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}x^{n+1}}{a_{n}x^{n}} \right| = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(n+1)a_{n+1}x^{n}}{na_{n}x^{n-1}} \right|$이므로 $ \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$의 수렴반경은 $R$이다.

 

  또한 임의의 폐구간 $[a, b] \subset (-R, R)$에 대하여

  $(\mathrm{i})$  $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n}$은 $[a, b]$에서 평등수렴

  $(\mathrm{ii})$ $f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$은 $[a, b]$에서 평등수렴

  을 만족한다.

 

  $\therefore$  $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}x^{n} \in \mathcal{D}[a, b]$   &   $f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$    $(x \in [a,b])$

 

  임의의 $x \in (-R, R)$에 대하여 $x \in [a, b] \subset (-R, R)$인 $[a, b]$가 존재한다.

  $\therefore$  $f'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} na_{n}x^{n-1}$  $(\left|x \right| < R)$