선형대수학/연립일차방정식5 동차 연립방정식에 대한 자유변수 정리 정리1 만약 동차연립일차방정식이 $n$개의 미지수를 갖고, 그것의 첨가행렬의 기약 행사다리꼴이 $r$개의 $0$이 아닌 행을 갖는다면, 이 연립방정식은 $n-r$개의 자유변수를 갖는다. 더보기 기약 행사다리꼴이 $r$개의 $0$이 아닌 행을 갖는다면 선도 1의 개수는 $r$개이므로 선도변수 또한 $r$개이다. 따라서 연립방정식은 $n-r$개의 자유변수를 갖는다. 정리2 방정식보다 미지수가 더 많은 동차 연립일차방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. 더보기 동차 연립일차방정식에서 방정식의 개수를 $m$이라 하고 미지수의 개수를 $n$이라 하면 계수행렬의 크기는 $m \times n$이다. 이때 선도 1의 개수 $r$은 $r \leq \min \left\{m, n \right\}$인 것은 자명하다. 따라서 방정.. 2023. 9. 21. 행렬의 성질 열벡터와 행벡터에 의한 행렬 곱셈 크기가 각각 $m \times r, r \times n$인 행렬 $A, B$에 대하여 행렬의 곱 $AB$를 다음과 같이 얻을 수 있다. $$AB = A \begin{bmatrix} \mathbf{b_{1}} & \mathbf{b_{2}} & \cdots & \mathbf{b_{n}} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A\mathbf{b_{1}} & A\mathbf{b_{2}} & \cdots & A\mathbf{b_{n}} \\ \end{bmatrix} $$ ($AB$는 열별로 계산되었다.) $$AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{m} \.. 2023. 9. 21. 기초 행렬 영행렬 모든 원소가 0인 행렬을 영행렬이라고 한다. 기호로 $0$ 또는 $O$로 표시한다. 크기를 강조해야 할 때는 $m \times n$ 단위 행렬을 $0_{m \times n}$으로 표시한다. 단위행렬 주대각선 상의 원소들은 1이고 나머지 원소들은 모두 0이면 이러한 행렬을 단위행렬(unit matrix) 또는 항등행렬(identy matrix)이라고 한다. 기호로 $I$로 표시한다. 크기를 강조해야 할 때는 $n \times n$ 단위 행렬을 $I_{n}$으로 표시한다. 정방행렬 $n$행과 $n$열의 행렬 $A$를 크기 $n$의 정방행렬(square matrix)이라고 한다. 전치행렬 $A$가 $m \times n$ 행렬이고 $A^{T}$로 표시되는 $A$의 전치행렬은 $n \times m$행렬이고.. 2023. 9. 21. 행렬 기초 지식 정의1 행렬은 숫자들의 직사각형 배열이다. 배열 안에 있는 숫자들을 행렬의 원소라 한다. 행렬의 크기는 행의 개수와 열의 개수로 표현한다. 하나의 열로만 된 행렬을 열벡터 또는 열행렬이라 하고 하나의 행으로만 된 행렬을 행벡터 또는 행행렬이라고 한다. 정의2 두 행렬의 크기가 같고 서로 대응되는 원소가 같으면 두 행렬이 같다고 한다. 정의3 행렬 $A$와 $B$의 크기가 같으면 합 $A+B$는 $B$의 원소에 대응되는 $A$의 원소를 더하여 얻을 수 있고 차 $A-B$는 $A$의 원소에서 대응되는 $B$의 원소를 빼서 얻을 수 있다. 다른 크기의 행렬들은 더하거나 뺄 수 없다. 정의4 $A$를 임의의 행렬, $c$를 임의의 스칼라라고 하면 곱 $cA$는 행렬 $A$의 모든 원소에 스칼라 $c$를 곱하여 .. 2023. 9. 21. 기본 개념 정의 연립일차방정식 일차방정식들의 유한 집합을 연립일차방정식 또는 간단히 선형계(linear system)라고 하고 변수들을 미지수라고 한다. 일치/불일치 연립방정식이 적어도 하나 이상의 해를 가질 때 연립방정식이 일치한다(consistent)고 하고 해가 없을 때에는 이 연립방정식이 불일치한다(inconsistent)고 한다. 계수행렬 연립일차방정식에서 변수의 계수로서 형성된 행렬을 계수 행렬(coefficient matrix)이라고 한다. 첨가행렬 연립일차방정식의 계수와 상수항을 나열하여 만든 행렬을 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다. 기본 행연산 행렬의 가장 기본이 되는 연산으로서 다음 3가지 연산을 기본 행연산이라고 한다. 1. 0이 아닌 상수를 한 행에 곱하기 2. 두 행을 바꾸기 .. 2023. 9. 21. 이전 1 다음