본문 바로가기

실해석학/리만 적분6

적분가능 함수열 Observation $f_{n} \in \mathcal{R}[a, b]$, $f_{n} \to f$ 1. $f \in \mathcal{R}[a, b]$? No! 예) $\mathbb{Q} \cap [0, 1] = \left\{r_{1}, r_{2}, \cdots \right\} $이라 할때 $f_{n} : [0, 1] \to \mathbb{R} $, $f_{n}(x) = \begin{cases} 1 & \text{ } x \in \left\{r_{1}, r_{2}, \cdots, r_{n} \right\} \\ 0 & \text{ otherwise } \; \end{cases}$ $f_{n} \in \mathcal{R}[0, 1]$ ( $\because$ 유한개의 점에서 불연속) 그러나 $f_{n}(x.. 2024. 1. 1.
미적분학의 기본정리 정리1 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$에서 적분 가능할 때 $F : [a, b] \to \mathbb{R}$을 $F(x) = \int_{a}^{x} f(t) dt$로 정의하면 1. $F$는 $[a, b]$ 위에서 평등연속 2. $f$가 $x_{0} \in [a, b]$에서 연속이면 $F$는 $x_{0}$에서 미분가능하고 $F'(x_{0}) = f(x_{0})$ pf) 더보기 $f$가 $[a, b]$에서 유계이므로 모든 $x \in [a, b]$에 대하여 $\left|f(x) \right| \leq M$인 $M$이 존재한다. 임의의 $\varepsilon > 0 $을 택하자. $\delta = \frac{\varepsilon}{M}$라 하자. $\left|x - y \r.. 2024. 1. 1.
적분가능 함수공간 Lemma $A, B \subseteq \mathbb{R}$, $\lambda \in \mathbb{R}$ 1. $\mathrm{sup}(A + B) = \mathrm{sup}A + \mathrm{sup}B$ 2. $\mathrm{inf}(A + B) = \mathrm{inf}A + \mathrm{inf}B$ 3. $\mathrm{sup}(\lambda A) = \begin{cases} \lambda \; \mathrm{sup} A & \text{ if } \; \lambda \geq 0 \\ \lambda \; \mathrm{inf} A & \text{ if } \; \lambda < 0 \end{cases}$ 4. $\mathrm{inf}(\lambda A) = \begin{cases} \lambda.. 2023. 12. 31.
측도 0 정의1 $A \subseteq \mathbb{R}$, 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 가산개의 개구간 $(a_{n}, b_{n})$이 존재하여 $(\mathrm{i})$ $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_{n}, b_{n})$ $(\mathrm{ii})$ $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n} - a_{n}) \leq \varepsilon$ 을 만족할 때, $A$를 측도(measure) $0$인 집합이라 한다. Example 1. 유한집합 $A = \left\{x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$ : 측도 $0$ (sol) 임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자. $O_{k} = (x_{k} - \frac{\vare.. 2023. 12. 31.
함수의 적분가능성 정리1 $f \in \mathcal{R}[a, b]$ $\Leftrightarrow$ 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $U(f, P_{\varepsilon}) - L(f, P_{\varepsilon}) < \varepsilon$을 만족하는 $P_{\varepsilon} \in \mathcal{P}[a, b]$가 존재한다. pf) $\Leftarrow)$ 더보기 $L(f, P_{\varepsilon}) \leq \underline{\int_{a}^{b}} fdx \leq \overline{\int_{a}^{b}} fdx \leq U(f, P_{\varepsilon})$이므로 $0 \leq \overline{\int_{a}^{b}} fdx - \underline{\int_{a}^{b}} fd.. 2023. 12. 31.
리만 적분 정의1 $f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 유계라고 하자. 1. $P = \left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$ 2. $I_{k} = [x_{k-1}, x_{k}]$, $\Delta x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$ 3. $\mathcal{P}[a, b]$ : $[a, b]$의 분할 전체의 집합 4. $M(f, I_{k}) = \mathrm{sup} \left\{f(x) \; | \; x \in I _{k} \right\}$ 5. $m(f, I_{k}) = \mathrm{inf} \left\{f(x) \; | \; x \in I _{k} \right\}$ 6. $U(f, P) = \sum_{k=1}^{n} M(f, I_{k}) \De.. 2023. 12. 31.

티스토리툴바