평균값 정리

 

정리1 Cauchy의 평균값 정리

$f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$에서 연속이고 $(a, b)$에서 미분가능하면 적당한 $x_{0} \in (a, b)$가 존재하여

$(f(b) - f(a))g'(x_{0}) = (g(b) - g(a))f'(x_{0})$

를 만족한다.

 

# 모든 $x \in (a, b)$에 대하여 $g'(x) \neq 0$이라는 조건을 추가시키면 위를 

$\dfrac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \dfrac{f'(x_{0})}{g'(x_{0})}$인 $x_{0} \in (a, b)$가 존재한다

로 고쳐쓸 수 있다.

(미분-미분가능 함수의 성질편 정리3 참고)

 

  $h(x) = (f(b) - f(a))g(x) - (g(b) - g(a))f(x)$라 하면

  $h$는 $[a, b]$에서 연속, $(a,b)$에서 미분가능하고 $h(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a) = h(b)$이다.

 

  따라서 Rolle의 정리에 의해 $h'(x_{0}) = 0$인 $x_{0} \in (a,b)$가 존재한다.

  $\therefore$  $(f(b) - f(a))g'(x_{0}) = (g(b) - g(a))f'(x_{0})$인 $x_{0} \in (a, b)$가 존재한다.

 

 

 

정리2 평균값 정리 (MVT)

$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$에서 연속이고 $(a, b)$에서 미분가능하면 적당한 $x_{0} \in (a, b)$가 존재하여

$f'(x_{0}) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$

를 만족한다.

 

# Cauchy의 평균값 정리에서 $g(x) = x$인 경우

 

 

 

Remark

1. 평균값 정리

 

 

2. Cauchy의 평균값정리

는 매개곡선으로 해석할 수 있다.