Taylor 정리

 

정의1

$C^{n}(I) = \left\{f : I \to \mathbb{R} \; | \; f^{(n)}(x)\right.$가 존재 & $f^{(n)}(x)$가 연속$\left. \right \}$

($C^{n}$급 함수)

$C^{\infty}(I) = \left\{f : I \to \mathbb{R} \; | \; \right.$모든 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 $f^{(n)}(x)$가 미분가능$\left. \right \}$

($C^{\infty}$급 함수)

 

 

 

정리1 Taylor 정리

$f \in C^{n+1}[a, b]$라고 하자. 모든 $x \in (a,b)$에 대하여

$f(x) = \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k} + R_{n}(x)$

으로 정의된 나머지항 $ R_{n}(x)$는 다음 공식에 의하여 구한다.

 

1. $R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{n!} (x-t_{x})^{n} (x-a)$                              $(a < t_{x} < x)$

: Cauchy의 나머지식

2. $R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$                                          $(a < t_{x} < x)$

: Lagrange의 나머지식

 

# $ \sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{k}(a)}{k!}(x-a)^{k}$는 $a$에서 $f$의 $n$차 Taylor 다항식이라하고 $ R_{n}(x)$는 $a$에서 $f$의 나머지 항이라 한다.

 

pf)

  임의의 $x \in (a,b)$를 택하자.

  $F : [a, x] \to \mathbb{R}$, $F(t) = f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(t)}{k!} (x-t)^{k}$라 하면

  $F'(t) = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(f(x) - f(t) - f'(t)(x - t) - \cdots - \frac{f^{(n)}(t)}{n!}(x - t)^{n})$

               $= - f'(t) + (f'(t) - f^{2}(t)(x - t)) + \cdots + (\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n - 1} - \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^{n}) $

               $= - \frac{f^{(n+1)(t)}}{n!}(x-t)^{n}$

 

  평균값 정리에 의해 적당한 $t_{x} \in (a, x)$가 존재하여

  $F(x) - F(a) = F'(t_{x})(x-a) = - \frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{n!} (x-t_{x})^{n} (x-a) $

  를 만족한다.

 

  이때 $F(x) - F(a) = 0 - R_{n}(x) = - R_{n}(x)$이므로

  $\therefore$  $R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{n!} (x-t_{x})^{n} (x-a)$ 

 

  $G : [a, x] \to \mathbb{R}$, $G(t) = (x- t)^{n+1}$로 정의하면

  Cauchy의 평균값 정리에 의해 적당한 $t_{x} \in (a, x)$가 존재하여

$\frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{F'(t_{x})}{G'(t_{x})} = \frac{- \frac{f^{(n+1)}}{n!}(x-t)^{n}}{-(n+1)(x- t)^{n}} = \frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}$ 

  를 만족한다.

 

  이때 $\frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \frac{0 - R_{n}(x)}{0 - (x-a)^{n+1}} = \frac{R_{n}(x)}{(x-a)^{n+1}}$이므로

  $\therefore$   $R_{n}(x) = \frac{f^{(n+1)}(t_{x})}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$  

 

 

 

Taylor 급수

$f \in C^{\infty}(I)$, $a \in I$

모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $

$\Leftrightarrow$  $\displaystyle \lim_{n \to \infty} R_{n}(x) = 0 $

 

 

 

Remark

1. $f \in C^{\infty}(I)$, $a \in I$

모든 $x \in I$에 대하여 $f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $

일 때 $f$는 $a$에서 해석적(analytic)이라 한다.

 

2. $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$가 $\mathbb{C}$에서 미분가능

$\Leftrightarrow$  $f \in C^{\infty}(\mathbb{C})$    &    $f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(z-a)^{n} $