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집합론/가부번집합과 비가부번집합4

비가부번집합 정리1 열린구간 $(0,1)$은 무한집합으로서 비가부번집합이다. 더보기 (칸토어의 대각법) 각 $x \in (0, 1)$을 $0.x_{1}x_{2}x_{3} \cdots$같은 꼴의 소수로 전개하자. 유일한 소수전개를 위하여 유한소수는 순환소수로 나타낸다. 따라서 $x, y \in (0,1)$ $(x = 0.x_{1}x_{2}x_{3} \cdots , y = 0.y_{1}y_{2}y_{3} \cdots )$에 대하여 $x = y$ $\Leftrightarrow$ $x_{k} = y_{k}$ $(k = 1, 2, \cdots)$ Suppose 1 : $(0,1)$이 가부번집합이라고 하자 따라서 일대일 대응 $f : \mathbb{N} \sim (0,1)$이 존재한다. 즉, $f(1) = 0.a_{11}a_{.. 2023. 12. 26.
가부번집합의 성질 정리1 임의의 가부번집합 $A, B$에 대한 $A \cup B$도 가부번집합이다. 더보기 Case 1 : $A \cap B = \varnothing$ $A \sim \mathbb{N}$, $\mathbb{N} \sim \mathbb{N}_{e}$이므로 $A \sim \mathbb{N}_{e}$ $B \sim \mathbb{N}$, $\mathbb{N} \sim \mathbb{N}_{o}$이므로 $B \sim \mathbb{N}_{o}$ $\therefore$ $(A \cup B) \sim (\mathbb{N}_{e} \cup \mathbb{N}_{o}) = \mathbb{N}$ Case 2 : $A \cap B \neq \varnothing$ $C = B -A$로 놓으면 $A \cup C = A \cup.. 2023. 12. 26.
집합의 대등 정의1 두 집합 $X, Y$에 대하여 일대일 대응 $f : X \to Y$가 존재할 때, $X$와 $Y$는 대등하다고 말하고 $X \sim Y$로 나타낸다. 정리1 집합족 $\mathcal{P}$ 위의 관계 $\mathcal{R}$을 다음과 같이 정의하자. $X, Y \in \mathcal{R}$에 대하여 $X \mathcal{R} Y$ $\Leftrightarrow$ $X \sim Y$ 이때 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{P}$은 하나의 동치관계이다. 더보기 1. 반사율 $X \sim X$ ($\because$ $I_{X} : X \to X$ 항등함수) 2. 대칭율 $X \sim Y$ $\Rightarrow$ $Y \sim X$ ($\because$ $f : X \to Y$ 일대일 대응 .. 2023. 12. 26.
유한집합과 무한집합 정의1 집합 $X(\neq \varnothing)$에 대하여 1. 진부분집합 $Y$가 존재하여 $X$와 $Y$사이에 일대일 대응이 존재할 때, $X$를 무한집합이라고 한다. 즉, $X$ 무한집합 $\Leftrightarrow$ $\exists f : X \to X$ 단사함수, $f(X) \neq X$ (or $f(X) \subset X$) 2. 무한집합이 아닌 집합을 유한집합이라 한다. 정리1 공집합 $\varnothing$과 한 원소 집합은 유한집합이다. 더보기 공집합의 진부분집합이 존재하지 않으므로 $\varnothing$은 무한집합이 아니다. 따라서 $\varnothing$는 유한집합이다. 임의의 한 원소 집합 $\left\{a \right\}$에 대하여 이 집합의 진부분집합은 공집합 뿐이다. 그러.. 2023. 12. 26.

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