로피탈의 법칙

 

정리1 로피탈의 법칙 ($\frac{0}{0}$인 부정형)

$f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$가 $[a, b]$에서 연속, $(a, b)$에서 미분가능, $f(a) = g(a) = 0$이라 하자.

또 모든 $x \in (a, b)$에 대하여 $g(x) \neq 0$,  $g'(x) \neq 0$이면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \; (\in \mathbb{R})$   $\Rightarrow$   $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$

 

# "$x \to a+$"를 $x \to a-$,  $x \to a$,  $x \to \infty$ 등으로 바꾸어도 성립한다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L $이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $a < x < a+\delta$ $\Rightarrow$ $\left|\frac{f'(x)}{g'(x)} - L \right| < \varepsilon$

  를 만족한다.

  $f, g$가 $[a, b]$에서 연속, $(a, b)$에서 미분가능이고 모든 $x \in (a, b)$에 대하여 $g'(x) \neq 0$이므로

  Cauchy의 평균값 정리를 적용하면 임의의 $x \in (a, a+ \delta)$에 대하여 적당한 $c_{x} \in (a,x)$가 존재하여

  $\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}$

  를 만족한다.

 

  이때 $f(a) = g(a) = 0$이므로 $\frac{f(x) }{g(x) } = \frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}$이다.

  $\therefore$  $a < x < a+\delta$  $\Rightarrow$  $\left|\frac{f(x)}{g(x)} - L \right| = \left|\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})} - L \right| < \varepsilon$

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$

 

 

 

정리2 로피탈의 법칙 ($\frac{\infty}{\infty}$인 부정형)

$f, g : (a, b) \to \mathbb{R}$가 미분가능하고 $\displaystyle \lim_{x \to a+} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a+} g(x) = \infty$라 하자.

또 모든 $x \in (a, b)$에 대하여 $g(x) \neq 0$,  $g'(x) \neq 0$이면 다음이 성립한다.

$\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L \; (\in \mathbb{R})$   $\Rightarrow$   $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$

 

# "$x \to a+$"를 $x \to a-$,  $x \to a$,  $x \to \infty$ 등으로 바꾸어도 성립한다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L $이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $a < x < a+\delta$ $\Rightarrow$ $\left|\frac{f'(x)}{g'(x)} - L \right| < \frac{\varepsilon}{2}$

                                     $\Rightarrow$  $\left|\frac{f'(x)}{g'(x)} \right| <\left|L \right| + \frac{\varepsilon}{2} $

  를 만족한다.

  $\displaystyle \lim_{x \to a+} f(x) = \infty$이므로 적당한 $\delta_{1} (0 < \delta_{1} < \delta)$가 존재하여

  $a < x < a + \delta_{1}$  $\Rightarrow$  $\left|f(a + \delta) \right| < f(x)$ 

                                 $\Rightarrow$  $f(a+ \delta) \neq f(x)$

  를 만족한다.

  Cauchy 평균값 정리에 의해 임의의 $x \in (a, a+ \delta_{1})$에 대하여 적당한 $c_{x} \in (x,a + \delta)$가 존재하여

  $\frac{f(x) - f(a + \delta)}{g(x) - g(a + \delta)} = \frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})}$

  를 만족한다.

 

  이때 $\frac{f(x) - f(a + \delta)}{g(x) - g(a + \delta)} = \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \frac{1 - \frac{f(a + \delta)}{f(x)}}{1 - \frac{g(a + \delta)}{g(x)}}$이므로 $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})} \cdot \frac{1 - \frac{g(a + \delta)}{g(x)}}{1 - \frac{f(a + \delta)}{f(x)}}$이다.

 

  이때 $\displaystyle \lim_{x \to a+}\frac{1 - \frac{f(a + \delta)}{f(x)}}{1 - \frac{g(a + \delta)}{g(x)}} = 1$이므로 적당한 $\delta_{2} (0 < \delta_{2} < \delta_{1})$가 존재하여

  $a < x < a + \delta_{2}$  $\Rightarrow$  $\left|\frac{1 - \frac{f(a + \delta)}{f(x)}}{1 - \frac{g(a + \delta)}{g(x)}} - 1 \right| < \frac{\varepsilon }{2(\left|L \right| + \frac{\varepsilon}{2})}$

  를 만족한다.

 

  $\therefore$  $a < x < a+\delta_{2}$  $\Rightarrow$  $\left|\frac{f(x)}{g(x)} - L \right| $

                                          $\leq \left|\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})} \right| \left|\frac{1 - \frac{f(a + \delta)}{f(x)}}{1 - \frac{g(a + \delta)}{g(x)}} - 1 \right| + \left|\frac{f'(c_{x})}{g'(c_{x})} - L \right|$

  ( $\because $  $\left|yz - L \right| \leq \left|yz - y \right| + \left|y - L \right| = \left|y \right| \left|z-1 \right| + \left|y - L \right|$)

                                          $< (\left|L \right| + \frac{\varepsilon}{2}) \frac{\varepsilon }{2(\left|L \right| + \frac{\varepsilon}{2})} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon $

 

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{f(x)}{g(x)} = L$