실해석학/수열(sequence)7 평등수렴하는 연속함수열의 특징 정리1 집합 $E \subset \mathbb{R} $ 위에서 정의된 연속함수열 $\left$이 $E$ 위에서 함수 $f:E \to \mathbb{R} $에 평등수렴하면, 극한함수 $f$는 $E$위에서 연속이다. 더보기 임의의 $c \in E$을 택하자. 임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자. $\left$이 $E$ 위에서 $f$에 평등수렴하므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여 $n \geq N, \; x \in E \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f(x) \right| 0$가 존재하여 $\left|x - c \right| < .. 2024. 1. 6. 함수열의 평등수렴성에 대한 코시 판정법 함수열의 평등수렴성 판정법에는 코시 판정법이 있다. 정리1 $D$를 실수의 집합 $\mathbb{R} $의 부분집합이라 하고 $\left$을 $D$위에서 정의된 함수열이라고 하자. $\left$이 $D$위에서 함수 $f:D \to \mathbb{R}$에 평등수렴할 필요충분조건은 명제 $\forall \varepsilon > 0, \; \exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (x \in D, \; n, m \geq N \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right| 0$을 택하자. $\le.. 2024. 1. 6. 점별수렴과 평등수렴(pointwise convergence and uniform convergence) 이번 글에서는 함수열의 수렴에 관하여 알아볼 것이다. 정의1 $D$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라고 하고 $\left$을 $D$ 위에서 정의된 함수열이라고 할 때, 각 점 $x \in D $에 대응된 수열 $\left$가 수렴하면, 함수열 $\left$은 $D$ 위에서 점별수렴(pointwise convergence) 한다 또는 간단히 수렴한다고 말한다. 이때, 새로운 함수 $f : D \to \mathbb{R}$을 $f(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x)$ 로 정의할 때, 이 함수 $f$를 $\left$의 점별극한함수(pointwise limit function) 또는 간단히 극한함수라고 부른다. 함수열 $\left$이 $D$ 위.. 2024. 1. 6. 코시 수열(Cauchy sequence) 사람들은 수열 $\left$이 수렴하기 위한 조건을 찾기를 원한다. 그 해답에 도움을 주는 것 중에 하나가 코시 수열이다. 정의1 수열 $\left$에 있어서, 명제 $\forall \varepsilon > 0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n, m \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x_{m} \right| < \varepsilon )$ 을 만족하면, $\left$을 코시 수열(Cauchy sequence)이라고 한다. 정리1 $\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n}$ $\Rightarrow$ $\left$ Cauchy sequence 더보기 $\displaystyle \lim_{n.. 2024. 1. 6. 유계인 수열의 특징(characteristics of the bound sequence) 정리1 임의의 유계인 실수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 가진다. 더보기 임의의 수열 $\left $이 유계라고 하자. $\left $의 치역 $\left\{x_{n} \right\} $에 대하여 2가지 경우가 존재한다. Case 1 : $\left\{x_{n} \right\} $은 유한집합 $\left\{x_{n} \right\} $의 서로 다른 원소는 유한개 뿐이므로 이들 중 적어도 어느 한 수는 무한히 반복해서 나타난다. 이러한 수를 $x$라 하면, $x_{n_{1}} = x_{n_{2}} = \cdots = x$ 인 $n_{1} < n_{1} < \cdots < n_{k} < \cdots $가 존재하게 되므로, $\left$는 $\left$의 부분수열이되며 명백히 $x$에 수렴한다. Case 2 .. 2023. 8. 29. 수렴하는 수열의 특징(characteristics of convergent sequences) 수렴하는 수열에는 여러가지 특징이 있다. 그 중 6가지 정리를 알아보자. 정리1 수열 $\left$이 수렴하면, 그 극한은 유일하다. 더보기 Suppose 1 : $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{1}$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{2}$ 임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자. $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{1}$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x_{2}$이므로 적당한 $N_{1}, N_{2} \in \mathbb{N}$가 존재하여 $n \geq N_{1} \Rightarrow \lef.. 2023. 8. 24. 여러가지 수열(various sequences) 정의1 $\mathbb{N}$ 위에서 정의된 $\mathbb{R}$로의 함수 $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 을 실수열, 또는 간단히 수열이라고 하고, 각 자연수 $n$에 대한 함수 $f$의 값 $f(n) = x_{n}$을 수열 $f$의 제 $n$항이라고 한다. 특히, $\mathbb{R}$의 부분집합 $S$에 대하여 $\mathbb{N}$에서 $S$로의 함수 $f : \mathbb{N} \to S$ 를 $S$에서의 수열이라고 한다. # 일반적으로 수열 $f$를 $\left$으로 $f$의 치역 $f(\mathbb{N})$을 $\left\{x_{n} \right\}$으로 나타낸다. 정의2 수열 $\left$에 대하여, 적당한 실수 $x$가 존재해서 명제 $\forall \varep.. 2023. 8. 23. 이전 1 다음