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선형대수학/벡터공간4

일차독립 정의1 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \end{Bmatrix}$이 벡터공간 $V$내의 공집합이 아닌 벡터의 집합이면, 벡터방정식 $$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} = \mathbf{0}$$ 은 적어도 하나의 해 $$k_{1} = 0, \;\; k_{2} = 0, \;\; \cdots , \;\; k_{r} = 0$$ 를 갖는다. 이것을 자명해(trivial solution)라 한다. 만약 이것이 단 하나의 해이면, $S$는 일차독립집합(linearly independent set)이라 한다. 만약 자명해.. 2023. 12. 17.
일차결합과 생성(linear combination and span) 정의1 $V$의 벡터 $\mathbf{w}$가 다음 식과 같이 표현될 때 $\mathbf{w}$를 $V$ 내의 벡터 $ \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{r}$의 일차결합(linear combination)이라 한다. $$\mathbf{w} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}$$ 여기서 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$은 스칼라이고, 이 스칼라를 일차결합의 계수(coefficients)라 부른다. 정리1 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2},\cdots ,\mathbf{w}_{.. 2023. 12. 17.
부분공간 정의1 벡터공간의 $V$의 부분집합 $W$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 될 때 $W$를 $V$의 부분공간(subspace)이라고 한다. # 어떤 공리는 $V$에서 부터 상속(inherited)되기 때문에 $W$에 대해서 증명할 필요가 없다 $W$에 상속되지 않는 공리 공리 1 - 덧셈에 대한 $W$의 닫힘성 공리 4 - $W$ 내에 영벡터의 존재 공리 5 - $W$ 내의 각 벡터에 대한 음이 $W$ 내에 존재 공리 6 - 스칼라 곱셈에 대한 $W$의 닫힘성 정리1 벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $W$가 $V$의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 것이다. $(\mathrm{i})$ 만약 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{.. 2023. 12. 17.
벡터공간 정의1 $V$를 두 연산 덧셈과 스칼라곱셈이 정의 되는, 개체들의 집합이라 하자. $V$는 공집합이 아니라고 가정하자. 여기서 덧셈(addition)이란, $V$의 임의의 한 쌍의 개체 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$에 대해서 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 합(sum)이라 불리는 개체 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$를 연관시키는 규칙을 뜻한다. 또한, 스칼라곱(scalar multiple)이란, $V$의 임의의 개체 $\mathbf{u}$와 임의의 스칼라 $k$에 대해서 스칼라배(scalar multiple)라고 불리는 개체 $k\mathbf{u}$를 연관시키는 규칙을 뜻한다. 다음 모든 공리가 $V$의 모든 개체 $\mathbf{u}, \mathbf{v},.. 2023. 12. 17.

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