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집합론/관계와 함수7

함수의 합성 정의1 함수 $f: X \to Y$, $g : Y \to Z$, 각 $x \in X$에 대하여 $g \circ f : X \to Z$, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ 로 정의된 함수를 $f$와 $g$의 합성함수라 한다. 즉, $g \circ f = \left\{(x, z) \in X \times Z \; | \; \exists y \in Y, \; (x,y) \in f \wedge (y,z) \in g \right\} $ 정리1 함수 $f: X \to Y$, $g : Y \to Z$, $h : Z \to W$에 대하여 다음이 성립한다. $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ # 증명생략 정리2 함수 $f: X \to Y$에 대하여 1. $g : Y.. 2023. 12. 26.
단사, 전사, 전단사 정의1 함수 $f : X \to Y$, $x_{1}, x_{2} \in X$에 대하여 $f(x_{1}) = f(x_{2}) \;\; \Rightarrow \;\; x_{1} =x_{2}$ 즉, $x_{1} \neq x_{2} \;\; \Rightarrow \;\; f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ 일 때 $f$를 일대일 함수 또는 단사함수라 한다. 정의2 함수 $f : X \to Y$, 임의의 $y \in Y$에 대하여 적어도 하나의 $x \in X$가 존재하여 $y = f(x)$, 즉 $f(X) = Y$ 일 때 $f$를 위로의 함수 또는 전사함수라 한다. 정의3 함수 $f : X \to Y$가 단사함수이고 전사함수일 때 이 함수를 일대일 대응(one-to-one onto) 함수또는 전단사함수라.. 2023. 12. 26.
집합의 상과 역상 정의1 함수 $f : X \to Y$, $A \subseteq X$, $B \subseteq Y$ 1. $f(A) = \left\{f(x) \; | \; x \in A \right\} = \left\{y \; | \; \exists x \in A, \; y = f(x) \right\} $ 를 $f$에 따른 $A$의 상 (image) 2. $f^{-1}(B) = {x \; | \; f(x) \in B}$ 를 $f$에 따른 $B$의 역상(inverse image) 정리1 1. $y \in f(A)$ $\Leftrightarrow$ $\exists x \in A, \; y = f(x)$ 2. $x \in A$ $\Rightarrow$ $f(x) \in f(A)$ 3. $x \in f^{-1}(B)$ $\Lef.. 2023. 12. 26.
함수 정의1 공집합이 아닌 두 집합 $X, Y$에 대하여 $X$에서 $Y$로의 함수란 하나의 세 짝 $(f, X, Y)$를 뜻한다. 여기서 $f$는 다음 두 조건을 만족하는 $X$에서 $Y$로의 관계이다. 1. $\mathrm{Dom}(f) = X$ 2. $(x, y) \in f \wedge (x, z) \in f \Rightarrow y=z$ 기호 : $(f, X, Y)$ 대신 $ f : X \to Y$, $(x, y) \in f$ 대신 $y = f(x)$를 사용한다. 정의2 함수 $f : X \to Y$에 대하여 $y = f(x)$일 때 $y$를 $f$에 따른 $x$의 상(image) $x$를 $f$에 따른 $y$의 원상(pre image)이라 한다. $\mathrm{Im}(f) = \left\{f(x) .. 2023. 12. 25.
분할과 동치관계 정의1 집합 $X$의 임의의 부분집합 $A, B, C$에 대하여 다음이 모두 성립할 때 집합 $\mathcal{P}$를 $X$의 분할이라고 한다. 1. $A, B \in \mathcal{P} \wedge A \neq B \Rightarrow A \cap B = \varnothing$ 2. $\bigcup_{C \in \mathcal{P}}^{} C = X$ 정의2 집합 $X$ 위의 하나의 동치관계를 $\mathcal{E}$라 할 때 각 $x \in X$에 대하여 $x / \mathcal{E} = \left\{y \in X \; | \; y \mathcal{E} x \right\}$ 를 $x$의 동치류(equivalence class)라고 한다. 또 $X$에서의 동치류의 집합을 다음과 같이 나타낸다. $X.. 2023. 12. 25.
관계 정의1 집합 $A$에서 집합 $B$로의 관계 $\mathcal{R}$은 데카르트곱 $A \times B$의 하나의 부분집합을 뜻한다. 여기서 $(a,b) \in \mathcal{R}$를 $a \mathcal{R} b$와 같이 나타내고 이 기호를 "$a$는 $\mathcal{R}$에 따라 $b$와 관계된다."라고 읽는다. 특히 $A, B$가 모두 $X$와 같은 경우 "$X$에서 $X$로의 관계 $\mathcal{R}$"이라고 하는 대신 "$X$에서의 관계 $\mathcal{R}$"이라고 한다. 정의2 집합 $A, B$에 대하여 $A$에서 $B$로의 관계 $\mathcal{R}$의 역관계를 $\mathcal{R}^{-1}$로 나타낸다. 여기서 $\mathcal{R}^{-1}$은 $B$에서 $A$로의 관계로서.. 2023. 12. 25.
데카르트 곱 정의1 임의의 두 집합 $A, B$에 대하여 $A, B$의 데카르트 곱(Descarte's product, Cartesian product) $A \times B$를 다음과 같이 정의한다. $A \times B = \left\{(a,b) \; | \; a \in A \wedge b \in B \right\}$ 특히 $A = B = \mathbb{R}$인 경우 $\mathbb{R}^{2} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \left\{(x,y) \; | \; x \in \mathbb{R} \wedge y \in \mathbb{R} \right\}$ 이 데카르트곱은 실수의 모든 순서쌍의 집합으로서 좌표평면(또는 데카르트평면)을 뜻한다. 정리1 임의의 집합 $A, B, C$에 대하여 .. 2023. 12. 25.

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