정리1 Darboux 정리
$f$가 $[a, b]$에서 미분가능하고 $f'(a) \neq f'(b)$이면
$f'(a)$와 $f'(b)$ 사이의 임의의 값 $k$에 대하여 $f'(x_{0}) = k$인 $x_{0} \in (a, b)$가 존재한다.
# $f \in \mathcal{D}[a, b]$일 때, $f'$이 연속이 아닐지라도 $f'$에 대한 중간값 정리가 성립한다.
WLOG, WMA $f'(a) < k < f'(b)$
$g(x) = f(x) - kx$라 하면 $g$는 $[a, b]$에서 연속이므로 최소값 $g(x_{0})$가 존재한다.
$(\mathrm{i})$ $\left<x_{n} \right> \subset (a, b]$ & $x_{n} \to a$인 수열을 택하면
$g'(a) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{g(x_{n}) - g(a)}{x_{n} - a} = f'(a) - k < 0$이므로 적당한 $N_{1}$이 존재하여
$\frac{g(x_{N_{1}}) - g(a)}{x_{N_{1}} - a} < 0$
를 만족한다.
$\therefore$ $g(x_{N_{1}}) < g(a)$
$(\mathrm{ii})$ $\left<y_{n} \right> \subset [a, b)$ & $y_{n} \to b$인 수열을 택하면
$g'(b) = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{g(y_{n}) - g(b)}{y_{n} - b} = f'(b) - k > 0$이므로 적당한 $N_{2}$가 존재하여
$\frac{g(x_{N_{2}}) - g(b)}{x_{N_{2}} - b} > 0$
를 만족한다.
$\therefore$ $g(x_{N_{2}}) < g(b)$
즉, $g(x_{0}) \leq g(x_{N_{1}}) < g(a)$ & $g(x_{0}) \leq g(x_{N_{2}}) < g(b)$이므로 $x_{0} \in (a,b)$이다.
이때 $g(x_{0})$는 극소값이고 $g$는 $[a, b]$에서 미분가능하므로 $g'(x_{0}) = f'(x_{0}) - k = 0$이다.
$\therefore$ $f'(x_{0}) = k$인 $x_{0} \in (a, b)$가 존재한다.