미분가능 함수공간

 

정리1

$f, g : [a, b] \to \mathbb{R}$가 점 $c \in [a, b]$에서 미분가능하면 $\frac{f}{g}$도 $c \in [a, b]$에서 미분가능하고 다음이 성립한다.

 

$(\frac{f}{g})'(c) = \frac{f'(c)g(c) - f(c)g'(c)}{g^{2}(c)} $  $(g(c) \neq 0)$

 

  $\frac{(f/g)(x) - (f/g)(c)}{x - c} = \frac{f(x)g(c) - f(c)g(x)}{(x - c)g(x)g(c)}$

 

                             $=\frac{f(x)g(c) - f(c)g(c) + f(c)g(c) - f(c)g(x)}{(x - c)g(x)g(c)}$

 

                             $=\frac{1}{g(x)g(c)}(\frac{f(x) - f(c)}{x - c}g(c) - \frac{g(x) - g(c)}{x - c}f(c))$

 

  이때 $g$가 $c$에서 미분가능하므로 $g$는 $c$에서 연속이다. 즉, $g(c) \neq 0$이므로 적당한 $c$의 근방 $I$가 존재하여

  $\forall x \in I, \; g(x) \neq 0$

  를 만족한다.

  $\therefore$  $(\frac{f}{g})'(c) = \frac{f'(c)g(c) - f(c)g'(c)}{g^{2}(c)} $

 

 

 

정리2

$I, J \subset R$을 구간이라 하고, 함수 $f : I \to \mathbb{R}$, $g: J \to \mathbb{R}$에 대하여 $f(I) \subset J$라 하자.

$f$가 점 $c \in I$에서 미분가능하고 $g$가 점 $f(c) \in J$에서 미분가능하면 합성함수 $g \circ f$는 점 $c$에서 미분가능하고 다음이 성립한다.

$(g \circ f)'(c) = g'(f(c))f'(c)$

 

# 정리1처럼 증명시 문제점 : $c$의 근방에서 $f(x) - f(c) = 0$이 발생할 수 있다.

 

  $f$가 $c$에서 미분가능이므로 $n_{f} : I - \left\{c \right\} \to \mathbb{R}$이 존재하여

  $f(x) - f(c) = (x - c)f'(c) + (x - c)n_{f}(x)$   $(x \in I - \left\{c \right\})$     

&   $\displaystyle \lim_{x \to c} n_{f}(x) = 0$

  또한 $g$가 $f(c)$에서 미분가능이므로 $n_{g} : J - \left\{f(c) \right\} \to \mathbb{R}$이 존재하여

  $g(y) - g(f(c)) = (y - f(c))g(f'(c)) + (y - c)n_{g}(y)$   $(y \in J - \left\{f(c) \right\})$ 

&   $\displaystyle \lim_{y \to f(c)} n_{g}(y) = 0$

 

  따라서

  $g(f(x)) - g(f(c)) = (f(x) - f(c))(g(f'(c)) + n_{g}(f(x)))$ 

                                         $= (x - c)(f'(c) + n_{f}(x))(g(f'(c)) + n_{g}(f(x)))$ 

 

  $\therefore$   $\frac{g(f(x)) - g(f(c))}{x - c} = (f'(c) + n_{f}(x))(g(f'(c)) + n_{g}(f(x))$

  $\to \; g'(f(c))f'(c)$   (as $x \to c$)