유계인 수열의 특징(characteristics of the bound sequence)

 

정리1

임의의 유계인 실수열은 반드시 수렴하는 부분수열을 가진다.

 

  임의의 수열 $\left<x_{n} \right> $이 유계라고 하자. $\left<x_{n} \right> $의 치역 $\left\{x_{n} \right\} $에 대하여 2가지 경우가 존재한다.

 

  Case 1 : $\left\{x_{n} \right\} $은 유한집합

  $\left\{x_{n} \right\} $의 서로 다른 원소는 유한개 뿐이므로 이들 중 적어도 어느 한 수는 무한히 반복해서 나타난다.

  이러한 수를 $x$라 하면,

  $x_{n_{1}} = x_{n_{2}} = \cdots = x$

  인 $n_{1} < n_{1} < \cdots < n_{k} < \cdots $가 존재하게 되므로, $\left<x_{n_{k}} \right>$는 $\left<x_{n} \right>$의 부분수열이되며 명백히 $x$에 수렴한다.

 

  Case 2 : $\left\{x_{n} \right\} $은 무한집합

  $\left\{x_{n} \right\} $이 유계이고 무한집합이므로 볼차노-바이어슈트라 정리에 의해 집합 $\left\{x_{n} \right\} $의 집적점 $x \in \mathbb{R} $가 존재한다.

  $x$가 $\left\{x_{n} \right\} $의 직접점이므로 적당한 $x_{n_{1}} \in \left\{x_{n} \right\}$가 존재하여

  $0 < \left| x - x_{n_{1}} \right| < 1$

  를 만족한다.

  같은 이유에서 $n_{2} > n_{1}$인 적당한 $x_{n_{2}} \in \left\{x_{n} \right\}$가 존재하여

  $0 < \left| x - x_{n_{2}} \right| < \frac{1}{2}$

  를 만족한다.

  ( $\because  $  그러한 $x_{n_{2}} $는 무한히 존재하고 $n_{1}$보다 작은 자연수는 유한하므로 $n_{2} > n_{1}$인 $x_{n_{2}} $가 존재한다.)

  (집합-집적점편 정리2 참고)

  이와 같은 과정을 반복하여, $\forall k \in \mathbb{N} $에 대하여 $n_{k} > n_{k-1}$이고 $0 < \left| x - x_{n_{k}} \right| < \frac{1}{k}$을 만족시키는 $x_{n_{k}} $를 $\left\{x_{n} \right\} $에서 택할 수 있다. 따라서 $\left<x_{n_{k}} \right>$는 $\left<x_{n} \right>$의 부분수열이 되며 명백히 $x$에 수렴한다.

 

 

 

정리2

$\left<x_{n} \right> $을 단조증가수열이라고 할 때, $\left<x_{n} \right> $이 위로 유계이면 $\left<x_{n} \right> $은 수렴하고 그 극한은

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = \mathrm{sup} \left\{x_{n} \; | \; n \in \mathbb{N} \right\} $

이다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  수열 $\left<x_{n} \right> $이 유계이므로 집합 $ \left\{x_{n} \right\}$은 상한 $\alpha = \mathrm{sup} \left\{x_{n} \; | \; n \in \mathbb{N} \right\}$가 존재한다.

  $\alpha$는 상한이므로 적당한 $K \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $\alpha - \varepsilon < x_{K} \leq \alpha $

  를 만족한다.

 

  이때 $\left<x_{n} \right>$이 단조증가하므로 

  $\therefore$  $n \geq K$  $\Rightarrow$  $\alpha - \varepsilon < x_{K} \leq x_{n} \leq \alpha < \alpha + \varepsilon$  $\Rightarrow$  $\left|x_{n} - \alpha \right| < \varepsilon $

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = \mathrm{sup} \left\{x_{n} \; | \; n \in \mathbb{N} \right\} $