평등수렴하는 연속함수열의 특징

 

정리1

집합 $E \subset \mathbb{R} $ 위에서 정의된 연속함수열 $\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서  함수 $f:E \to \mathbb{R} $에 평등수렴하면, 극한함수 $f$는 $E$위에서 연속이다.

 

  임의의 $c \in E$을 택하자.

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서 $f$에 평등수렴하므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $n \geq N, \; x \in E \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f(x) \right| < \frac{\varepsilon }{3}$

  를 만족한다.

  $f_{N}(x)$는 $c$에서 연속이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $\left|x - c \right| < \delta, \; x \in E \Rightarrow \left|f_{N}(x) - f_{N}(c) \right| < \frac{\varepsilon }{3} $

  를 만족한다.

 

  $\therefore$  $\left|x - c \right| < \delta, \; x \in E$  $\Rightarrow$  $\left|f(x) - f(c) \right|$

                                                 $= \left|f(x) - f_{N}(x) + f_{N}(x) - f_{N}(c) + f_{N}(c) - f(c) \right|$

                                                 $\leq  \left|f_{N}(x) - f(x) \right| + \left|f_{N}(x) - f_{N}(c) \right| + \left|f_{N}(c) - f(c) \right| < \varepsilon $

  $\therefore$  $f:E \to \mathbb{R}$ continuous on $E $

 

 

 

정리2

집합 $E \subset \mathbb{R} $ 위에서 정의된 연속함수열 $\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서  함수 $f:E \to \mathbb{R} $에 평등수렴하고 점 $c \in E$가 $E$의 집적점이면

$\displaystyle \lim_{x \to c} \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty } \displaystyle \lim_{x \to c} f_{n}(x)$

를 만족한다.

 

   $\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서  함수 $f:E \to \mathbb{R} $에 평등수렴하므로

  $\displaystyle \lim_{x \to c} \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) = \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) $

  위의 정리1에 의해 $f$는 $E$위에서 연속이므로 

  $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c) $

 

  또한 $f_{n}(x)$가 $E$ 위에서 연속이므로 

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \displaystyle \lim_{x \to c} f_{n}(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(c)$

  $\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서  함수 $f:E \to \mathbb{R} $에 평등수렴하므로

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(c) = f(c) $

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{x \to c} \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty } \displaystyle \lim_{x \to c} f_{n}(x)$

 

 

 

이후 증명에 쓰일 정리1의 변형된 정리를 알아보자.

 

정리3

점 $c \in E \subset \mathbb{R} $가 $E$의 집적점이고 집합 $E$ 위에서 정의된 연속함수열 $\left<f_{n} \right>$이 $E - \left\{c \right\}$ 위에서  함수 $f:E - \left\{c \right\} \to \mathbb{R} $에 평등수렴이라고 하자. 이때 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}(c) = L \; (\in \mathbb{R})$이라 하면 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) $가 존재하고 

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$

이 성립한다.

이때 $F : E \to \mathbb{R}$,  $F(x) = \begin{cases}
f(x) &  x \in E - \left\{c \right\} \\
L &  x= c
\end{cases}$로 재정의한 함수 $F$에 대하여,

$\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서 함수 $F$에 평등수렴한다. 또한 $F$는 $E$ 위에서 연속이다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\left<f_{n} \right>$이 $E - \left\{c \right\}$ 위에서 $f$에 평등수렴하므로 적당한 $N_{1} \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $n \geq N_{1}, \; x \in E - \left\{c \right\}$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x) - f(x) \right| < \frac{\varepsilon }{3}$

  를 만족한다.

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_{n}(c) = L $이므로 적당한 $N_{2} \in \mathbb{N}$가 존재하여

  $n \geq N_{2}$  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(c) - L \right| < \frac{\varepsilon }{3}$

  를 만족한다.

 

  $N = \mathrm{max} \left\{N_{1}, N_{2} \right\}$라 하자.

  $f_{N}(x)$는 $c$에서 연속이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $\left|x - c \right| < \delta, \; x \in E$  $\Rightarrow$  $\left|f_{N}(x) - f_{N}(c) \right| < \frac{\varepsilon }{3} $

  를 만족한다.

 

  $\therefore$  $0 < \left|x - c \right| < \delta, \; x \in E - \left\{c \right\}$  $\Rightarrow$  $\left|f(x) - L \right|$

                                                                        $= \left|f(x) - f_{N}(x) + f_{N}(x) - f_{N}(c) + f_{N}(c) - L \right|$

                                                                        $\leq  \left|f_{N}(x) - f(x) \right| + \left|f_{N}(x) - f_{N}(c) \right| + \left|f_{N}(c) - L \right| < \varepsilon $

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$

  

  이때 $F : E \to \mathbb{R}$,  $F(x) = \begin{cases}
f(x) &  x \in E - \left\{c \right\} \\
L &  x= c
\end{cases}$라 하자.

  $\therefore$  $n \geq N, \; x \in E \Rightarrow \left|f_{n}(x) - F(x) \right| < \frac{\varepsilon }{3}$

  $\therefore$  $\left<f_{n} \right>$이 $E$ 위에서 함수 $F$에 평등수렴한다. 또한 $F$는 $E$ 위에서 연속이다.