여러가지 수열(various sequences)

 

정의1

$\mathbb{N}$ 위에서 정의된 $\mathbb{R}$로의 함수

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$

을 실수열, 또는 간단히 수열이라고 하고, 각 자연수 $n$에 대한 함수 $f$의 값 $f(n) = x_{n}$을 수열 $f$의 제 $n$항이라고 한다. 특히, $\mathbb{R}$의 부분집합 $S$에 대하여 $\mathbb{N}$에서 $S$로의 함수

$f : \mathbb{N} \to S$

를 $S$에서의 수열이라고 한다.

 

# 일반적으로 수열 $f$를 $\left<x_{n} \right>$으로 $f$의 치역 $f(\mathbb{N})$을 $\left\{x_{n} \right\}$으로 나타낸다.

 

 

 

정의2

수열 $\left<x_{n} \right>$에 대하여, 적당한 실수 $x$가 존재해서 명제

$\forall \varepsilon >0, \; \exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x \right| < \varepsilon )$

를 만족하면, 수열 $\left<x_{n} \right>$은 수렴한다(converge), 또는 $x$에 수렴한다고 말한다.

이때 $x$를 $\left<x_{n} \right>$의 극한(limit)이라고 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } x_{n} = x$로 나타낸다.

수열 $\left<x_{n} \right>$이 수렴하지 않으면, 그 수열은 발산한다(diverge)고 말한다.

 

 

 

정의3

$\left<x_{n} \right>$을 주어진 수열이라고. 자연수 집합 $\mathbb{N}$에서의 수열 $\left<n_{k} \right>$가 $n_{1} < n_{2} < \cdots < n_{k} < \cdots $인 관계를 만족한다고 할 때, $\left<x_{n_{k}} \right>$를 $\left<x_{n} \right>$의 부분수열(subsequence)이라고 한다.

 

 

 

정의4

$D$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라고 하자. 각 자연수 n에 대하여 함수 

$f_{n} : D \to \mathbb{R}$

이 정의되어 있을 때, 함수 $f_{n}$들을 차례로 나열시킨 것을 $D$위에서 정의된 함수열(sequence of functions defined on D)이라고 한다.

즉, 집합 $\Omega $를 함수 $f_{n} : D \to \mathbb{R}$들로 이루어진 집합이라 할 때, 함수

$\varphi : \mathbb{N} \to \Omega $

를  $D$위에서 정의된 함수열이라고 하고, 기호로는 $\varphi = \left<f_{n} \right>$으로 나타낸다.