$R^{n}$에서의 직선과 평면의 방정식

 

점-법선 방정식

영이 아닌 법선벡터(normal) $\mathbf{n}$에 대하여

$P_{0}(x_{0}, y_{0})$을  지나면서 $\mathbf{n} = (a, b)$에 수직인 직선과 점 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$을 지나면서 $\mathbf{n} = (a, b, c)$에 수직인 평면은 벡터방정식

$$\mathbf{n} \cdot \overrightarrow{P_{0}P} = 0$$

으로 나타낼 수 있다. 이때 $P$는 직선상의 임의의 점 $(x,y)$이거나 평면상의 임의의 점 $(x, y, z)$이다.

즉, 성분을 이용하여 나타내면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) = 0$$

$$a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) + c(z-z_{0})= 0$$

 

 

 

따라서 다음의 정리를 얻는다.

 

정리1

$(1)$ $a, b$가 상수이고 모두 영이 아니면, 방정식

$$ax+by+c=0$$

은 $\mathbf{n} = (a,b)$을 법선벡터로 갖는 $R^{2}$의 직선을 나타낸다.

 

$(2)$ $a, b, c$가 상수이고 모두 영이 아니면, 방정식

$$ax+by+cz + d=0$$

은 $\mathbf{n} = (a,b,c)$을 법선벡터로 갖는 $R^{3}$의 평면을 나타낸다.

 

 

 

정리2 $R^{n}$에서의 피타고라스 정리

$\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 유클리드 내적에 대해 $R^{n}$의 직교하는 벡터라면, 다음이 성립한다.

$$\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} = \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$$

 

  $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 직교하면 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$이므로

  $\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2} = \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$

 

 

 

정리3 $R^{2}$에서 점과 직선 사이의 거리

$R^{2}$에서 점 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$와 직선 $ax+by+c=0$ 사이의 거리 $D$는

$$D = \frac{\left|ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

이다.

 

  평면상의 임의의 점 $Q(x_{1}, y_{1})$을 법선벡터 $\mathbf{n}$의 시점으로 하면 거리 $D$는
  $\overrightarrow{QP_{0}}$의 $\mathbf{n}$으로의 정사영의 길이이다. 따라서 $$D = \left\|\mathrm{proj}_{n}  \overrightarrow{QP_{0}} \right\| = \frac{\left|\overrightarrow{QP_{0}} \cdot \mathbf{n} \right|}{\left\|\mathbf{n} \right\|}$$

  이다. 이때 $\overrightarrow{QP_{0}} = (x_{0} - x_{1}, y_{0} - y_{1})$,  $\mathbf{n} = (a, b)$이므로

  $$D = \frac{\left|a(x_{0} - x_{1})+ b(y_{0} - y_{1})  \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} }} $$

  이다. 

  이때 $Q(x_{1}, y_{1})$가 주어진 평면 위에 있으므로

  $ax_{1} + by_{1} + c = 0$

  이다. 즉,

  $$D = \frac{\left|ax_{0} + by_{0} + c \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$$

 

 

 

정리4 $R^{3}$에서 점과 평면 사이의 거리

$R^{3}$에서 점 $P_{0}(x_{0}, y_{0}, z_{0})$와 직선 $ax+by+cz+d=0$ 사이의 거리 $D$는

$$D = \frac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$

이다.

 

  평면상의 임의의 점 $Q(x_{1}, y_{1}, z_{1})$을 법선벡터 $\mathbf{n}$의 시점으로 하면 거리 $D$는
  $\overrightarrow{QP_{0}}$의 $\mathbf{n}$으로의 정사영의 길이이다. 따라서 $$D = \left\|\mathrm{proj}_{n}  \overrightarrow{QP_{0}} \right\| = \frac{\left|\overrightarrow{QP_{0}} \cdot \mathbf{n} \right|}{\left\|\mathbf{n} \right\|}$$

  이다. 이때 $\overrightarrow{QP_{0}} = (x_{0} - x_{1}, y_{0} - y_{1}, z_{0} - z_{1})$,  $\mathbf{n} = (a, b, c)$이므로

  $$D = \frac{\left|a(x_{0} - x_{1})+ b(y_{0} - y_{1}) + c(z_{0} - z_{1}) \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} $$

  이다. 

  이때 $Q(x_{1}, y_{1}, z_{1})$가 주어진 평면 위에 있으므로

  $ax_{1} + by_{1} + cz_{1} + d = 0$

  이다. 즉,

  $$D = \frac{\left|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d \right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$$

 

 

 

정의1

$\mathbf{x}_{0}$와 $\mathbf{v}$가 $R^{n}$ 벡터이고 $\mathbf{v}$가 영이 아니면, 방정식

$\mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} + t\mathbf{v}$

은 $\mathbf{x}_{0}$를 지나고 $\mathbf{v}$에 평행한 직선이라 한다. 특별히 $\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0}$이면, 직선은 원점을 지난다고 한다.

 

 

 

정의2

$\mathbf{x}_{0}$와 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$가 $R^{n}$ 벡터이고 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$가 동일직선상에 있지 않으면, 방정식

$\mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} + t_{1}\mathbf{v}_{1} + t_{2}\mathbf{v}_{2}$

은 $\mathbf{x}_{0}$를 지나고 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}$에 평행한 평면이라 한다. 특별히 $\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0}$이면, 평면은 원점을 지난다고 한다.

 

# 위를 직선과 평면의 벡터방정식이라 한다.

# 벡터방정식 안에 있는 벡터들을 성분으로 표현하고 양 변의 대응하는 성분들을 등호로 연결하여 얻은 방정식들을 직선과 평면의 매개변수방정식이라 한다.

 

 

 

정의3

$\mathbf{x}_{0}, \mathbf{x}_{1}$을 $R^{n}$의 벡터라 하면, 방정식

$\mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} + t(\mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{0})$         $(0 \leq t \leq 1)$

은 $\mathbf{x}_{0}$에서 $\mathbf{x}_{1}$을 잇는 선분이라 한다. 편리하게

$\mathbf{x} = (1-t)\mathbf{x}_{0} + t\mathbf{x}_{1}$          $(0 \leq t \leq 1)$

으로 쓸 수 있다.