행렬곱셈으로서 점곱

 

행렬기호를 사용하여 벡터의 점곱을 나타내는 다양한 방법이 있다.

1. $\mathbf{u}, \mathbf{v}$는 열행렬

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{T}\mathbf{v} = \mathbf{v}^{T} \mathbf{u}$

2. $\mathbf{u}$는 행행렬이고 $\mathbf{v}$는 열행렬

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v} = \mathbf{v}^{T} \mathbf{u}^{T}$

3. $\mathbf{u}$는 열행렬이고 $\mathbf{v}$는 행행렬

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^{T}\mathbf{v}^{T} = \mathbf{v} \mathbf{u}$

4. $\mathbf{u}, \mathbf{v}$는 열행렬

$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}\mathbf{v}^{T} = \mathbf{v} \mathbf{u}^{T}$

 

 

 

정리1

$A$가 $n \times n$ 행렬이고 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $n \times 1$ 행렬이라 하자.

1.  $A\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u} \cdot A^{T}\mathbf{v}$

  $A\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (A\mathbf{u})^{T}\mathbf{v} = (\mathbf{u}^{T}A^{T})\mathbf{v} = \mathbf{u}^{T}(A^{T} \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot A^{T}\mathbf{v}$

 

2.  $\mathbf{u} \cdot A\mathbf{v} = A^{T}\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$

  $\mathbf{u} \cdot A\mathbf{v} = \mathbf{u}^{T} A\mathbf{v} = (\mathbf{u}^{T}A)\mathbf{v} = (A^{T}\mathbf{u})^{T} \mathbf{v} = A^{T}\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$

 

 

 

행렬곱셈을 점곱으로 표현하기

$A$가 $m \times r$ 행렬이고 $B$가 $r \times n$ 행렬이라 하자.

$A$의 행벡터를 $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \cdots, \mathbf{r}_{m}$라 하고 $B$의 열벡터를 $\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \cdots, \mathbf{c}_{n}$이라 하면

 

$AB = \begin{bmatrix}
\mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{c}_{1} & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{c}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{c}_{n} \\
\mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{c}_{1} & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{c}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{c}_{n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
\mathbf{r}_{m} \cdot \mathbf{c}_{1} & \mathbf{r}_{m} \cdot \mathbf{c}_{2} & \cdots & \mathbf{r}_{m} \cdot \mathbf{c}_{n} \\
\end{bmatrix} $