$R^{n}$에서 두 벡터 사이의 각 $\theta $를 다음 순서로 정의를 확장해 나갈것이다.
$R^{2}$ 또는 $R^{3}$의 같은 시점을 갖는 영이 아닌 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 사이의 각 $\theta $
: 시점을 중심으로 갖는 단위원 또는 단위구와 두 벡터의 단위 벡터가 이루는 부채꼴의 호의 길이로 정의한다.
(이때 $0 \leq \theta \leq \pi $이다.)
$\Rightarrow $ $R^{2}$ 또는 $R^{3}$에서의 유클리드 내적 정의
$\Rightarrow $ $R^{n}$에서의 유클리드 내적 정의
$\Rightarrow $ $R^{n}$에서 두 벡터 사이의 각 정의
정의1
$\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $R^{2}$ 또는 $R^{3}$의 영이 아닌 벡터이고 $\theta $가 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 사이의 각이면, $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 점곱(dot product), 또는 유클리드 내적(Euclidean inner product)은 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$로 나타내고
$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \left\|\mathbf{u} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \cos \theta$$
로 정의한다. $\mathbf{u} = \mathbf{0}$ 또는 $\mathbf{v} = \mathbf{0}$이면, $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$으로 정의한다.
# 위 정의를 통해 $R^{2}$에서 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} $, $R^{3}$에서 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + u_{3}v_{3}$으로 공식화 할 수 있고 이는 고등학교 수학에서 증명하였으므로 생략한다.
정의2
$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n}), \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n})$가 $R^{n}$ 상의 벡터일 때, $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 점곱(dot product), 또는 유클리드 내적(Euclidean inner product)은 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$로 나타내고 다음과 같이 정의한다.
$$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}$$
# $\left\|\mathbf{v} \right\| = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$
정리1
$R^{n}$ 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$와 스칼라 $k$에 대하여 다음의 성질이 성립한다.
1. $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
2. $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w})= \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
3. $k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = (k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}$
4. $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \geq 0$이고 $\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{v} = 0$이다.
# 증명은 단순계산으로 얻을 수 있으므로 생략한다.
정리2
$R^{n}$ 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$와 스칼라 $k$에 대하여 다음의 성질이 성립한다.
1. $\mathbf{0} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{0} = 0$
2. $( \mathbf{u} + \mathbf{v} ) \cdot \mathbf{w}= \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} + \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$
3. $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} - \mathbf{w})= \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} - \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
4. $( \mathbf{u} - \mathbf{v} ) \cdot \mathbf{w}= \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$
5. $k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot (k\mathbf{v})$
# 증명은 단순계산으로 얻을 수 있으므로 생략한다.
정의3
$R^{n}$에서 두 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ 사이의 "각"을 다음으로 정의한다.
$$\theta = \cos^{-1}(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\left\| \mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|})$$
이때 역코사인이 정의되려면 부등식
$$-1 \leq \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\left\| \mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|} \leq 1 $$
이 성립되어야 한다. 이는 다음 코시-슈바르츠 부등식이 이를 보장 한다.
정리3 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy - Schwarz inequality)
$\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots , u_{n}), \mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots , v_{n})$가 $R^{n}$ 벡터이면,
$$\left|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \right| \leq \left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|$$
이다. 또는 성분에 의해
$$\left|u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n} \right| \leq (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + \cdots + u_{n}^{2})^{\frac{1}{2}} (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + \cdots + v_{n}^{2})^{\frac{1}{2}}$$
이다.
# 증명은 일반화하여 내적공간에서 다룬다.
(내적공간-내적공간에서의 각도와 직교성편 정리1 참고)
정리4
$R^{n}$ 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$와 스칼라 $k$에 대하여 다음의 성질이 성립한다.
1. $\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\| \leq \left\|\mathbf{u} \right\| + \left\| \mathbf{v} \right\|$
2. $d(\mathbf{u},\mathbf{v}) \leq d(\mathbf{u},\mathbf{w}) + d(\mathbf{w},\mathbf{v}) $
pf)
$\left\|\mathbf{u + v} \right\|^{2} = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v})$
$=(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}) + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) $
$= \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$
$\leq \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2\left|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}\right| + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$
$\leq \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2 \left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$
$= (\left\|\mathbf{u} \right\| + \left\|\mathbf{v} \right\|)^{2}$
$\therefore$ $\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\| \leq \left\|\mathbf{u} \right\| + \left\| \mathbf{v} \right\|$
$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|$
$= \left\|(\mathbf{u} - \mathbf{w}) + (\mathbf{w} - \mathbf{v}) \right\|$
$\leq \left\|\mathbf{u} - \mathbf{w} \right\| + \left\|\mathbf{w} - \mathbf{v} \right\|$
$= d(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + d(\mathbf{w}, \mathbf{v})$
정리5
$R^{n}$의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$에 대하여 다음의 성질이 성립한다.
$\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|^{2} = 2(\left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + \left\| \mathbf{v} \right\|^{2})$
$\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|^{2} =
(\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v})$
$= 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}) + 2(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})$
$= 2(\left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2})$
정리6
$R^{n}$의 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$는 유클리드 내적에 대하여 다음의 성질이 성립한다.
$\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{4} \left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} - \frac{1}{4} \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|^{2} $
$\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$
$\left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|^{2} = (\mathbf{u} - \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - \mathbf{v}) = \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} - 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$
$\therefore$ $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \frac{1}{4} \left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} - \frac{1}{4} \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|^{2} $
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