$R^{n}$에서의 직교성과 사영정리

 

정의 1

두 영이 아닌 $R^{n}$ 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$에 대하여 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$이면 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$는 서로 직교한다(orthogonal 또는 perpendicular)라고 한다. 또한 $R^{n}$의 영벡터는 모든 $R^{n}$ 벡터에 직교한다. 공집합이 아닌 $R^{n}$ 벡터들의 집합에서 안에 있는 모든 서로 다른 두 벡터들이 직교하면, 이것을 직교집합(orthogonal set)이라 한다. 또한 단위벡터들의 직교집합을 정규직교집합(orthonormal set)이라 한다.

 

 

 

정리1 사영정리

$\mathbf{u}$와 $\mathbf{a}$가 $R^{n}$ 벡터이고 $\mathbf{a} \neq \mathbf{0}$이면, $\mathbf{u}$는 $\mathbf{u} = \mathbf{w_{1}} + \mathbf{w_{2}}$의 형태로 유일하게 표현할 수 있다. 여기서 $\mathbf{w_{1}}$은 $\mathbf{a}$의 스칼라배이고 $\mathbf{w_{2}}$는 $\mathbf{a}$에 수직인 벡터이다. 

 

  벡터 $\mathbf{w}_{1}$은 $\mathbf{a}$의 스칼라배이기 때문에 $\mathbf{w}_{1} = k \mathbf{a}$의 형태를 가져야 한다. 즉,

  $\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} = k\mathbf{a} + \mathbf{w}_{2}$

  이다. 따라서

  $\mathbf{u} \cdot \mathbf{a} = (k\mathbf{a} + \mathbf{w}_{2}) \cdot \mathbf{a} = k\left\|\mathbf{a} \right\|^{2} + (\mathbf{w}_{2} \cdot \mathbf{a})$

  이다. 이때 $\mathbf{w}_{2}$는 $\mathbf{a}$에 수직이므로

  $$k = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a} \right\|^{2}} $$

  인 $k$의 유일한 값을 얻는다.

 

  이때 $\mathbf{w}_{2} = \mathbf{u} - \mathbf{w}_{1} = \mathbf{u} - \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a} \right\|^{2}} \mathbf{a}$이다. 즉, $\mathbf{w}_{2} \cdot \mathbf{a} = 0 $이므로 실제로 $\mathbf{w}_{2}$는 $\mathbf{a}$에 수직이다.

 

 

 

정의2

사영 정리에 있는 벡터 $\mathbf{w_{1}}, \mathbf{w_{2}}$에 대하여 $\mathbf{w_{1}}$을 $\mathbf{u}$의 $\mathbf{a}$로의 정사영(orthogonal projection of $\mathbf{u}$ on $\mathbf{a}$) 또는 $\mathbf{u}$의 $\mathbf{a}$방향의 벡터성분(vector component of $\mathbf{u}$ along $\mathbf{a}$)이라 하고, $\mathbf{w_{2}}$를 $\mathbf{u}$의 $\mathbf{a}$에 직교하는 벡터성분이라고 한다. $\mathbf{w_{1}}$은 기호 $\mathrm{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{u}$로 나타낸다. 즉,

$$\mathrm{proj}_{\mathbf{a}}\mathbf{u} = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a} \right\|^{2}} \mathbf{a}$$

 

# $\left\|\mathrm{proj}_{\mathbf{a}} \mathbf{u} \right\| = \frac{\left|\mathbf{u} \cdot \mathbf{a} \right|}{\left\|\mathbf{a} \right\|} = \left\|\mathbf{u} \right\| \left|\cos \theta \right|$

 

 

 

정리2

$A$가 $m \times n$ 행렬이면, 동차 연립일차 방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해집합은 $A$의 모든 행벡터에 직교하는 $R^{n}$의 벡터들로 구성된다.

 

  $A$의 행벡터를 $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \cdots, \mathbf{r}_{m}$라 하면 동차 연립방정식은

  $\mathbf{r}_{1} \cdot \mathbf{x} = 0$

  $\mathbf{r}_{2} \cdot \mathbf{x} = 0$

  $\vdots$

  $\mathbf{r}_{m} \cdot \mathbf{x} = 0$

  과 같은 점곱 형태로 나타낼 수 있다. 즉, 모든 해벡터 $\mathbf{x}$는 계수행렬의 모든 행벡터에 수직이다.

 

 

 

정리3

일치하는 연립일차방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 일반해는 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$의 일반해에 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 임의의 특수해를 더하여 얻어진다.

 

  $\mathbf{x}_{0}$  :  $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 특수해

  $W$  :  $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$의 해집합

  $\mathbf{x}_{0} + W$  :  $W$에 있는 각 벡터에 $\mathbf{x}_{0}$를 더하여 얻은 벡터들의 집합

  이라 하자.

 

  Suppose 1 : $\mathbf{x} \in \mathbf{x}_{0} + W$

  즉, $\mathbf{x}$는 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} + \mathbf{w}$ 형태로 표현할 수 있고 $A\mathbf{x}_{0} = \mathbf{b}$와 $A \mathbf{w} = \mathbf{0}$이 되므로

  $A\mathbf{x} = A(\mathbf{x}_{0} + \mathbf{w}) = A\mathbf{x}_{0} + A\mathbf{w} = \mathbf{b} + \mathbf{0} = \mathbf{b}$

  $\therefore$  $\mathbf{x}$는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 해가 된다.

 

  Suppose 2 : $\mathbf{x}$를 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$의 임의의 해라 하자.

  $\mathbf{w} = \mathbf{x} - \mathbf{x}_{0}$라 하자.

  $A\mathbf{w} = A(\mathbf{x} - \mathbf{x}_{0}) = A\mathbf{x} + A\mathbf{x}_{0} = \mathbf{b} - \mathbf{b} = \mathbf{0}$

  이다. 즉, $\mathbf{w} \in W$

  $\therefore$  $\mathbf{x} \in \mathbf{x}_{0} + W$