정의1
$A \subseteq \mathbb{R}$, 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여
가산개의 개구간 $(a_{n}, b_{n})$이 존재하여
$(\mathrm{i})$ $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_{n}, b_{n})$
$(\mathrm{ii})$ $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n} - a_{n}) \leq \varepsilon$
을 만족할 때, $A$를 측도(measure) $0$인 집합이라 한다.
Example
1. 유한집합 $A = \left\{x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$ : 측도 $0$
(sol)
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
$O_{k} = (x_{k} - \frac{\varepsilon}{2n}, x_{k} + \frac{\varepsilon}{2n})$라 하면
$(\mathrm{i})$ $A \subseteq \bigcup_{k=1}^{n} O_{k}$
$(\mathrm{ii})$ $\sum_{k=1}^{n} ( x_{k} + \frac{\varepsilon}{2n} - x_{k} + \frac{\varepsilon}{2n} ) = \varepsilon$
$\therefore$ $A$ 측도 $0$
2. 무한가산집합 $A = \left\{x_{1}, x_{2}, \cdots \right\}$ : 측도 $0$
(sol)
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
$O_{n} = (x_{n} - \frac{\varepsilon}{2^{n+1}}, x_{n} + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}})$라 하면
$(\mathrm{i})$ $A \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} O_{n}$
$(\mathrm{ii})$ $\sum_{k=1}^{n} ( x_{n} + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} - x_{n} + \frac{\varepsilon}{2^{n+1}} ) = \varepsilon$
$\therefore$ $A$ 측도 $0$
정리1 Lebesgue theorem
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 유계라 하자.
$f$가 리만가능적분가능할 필요충분 조건은
$f$의 불연속점의 집합 $D$가 측도 $0$인 집합이다.
pf)
$\Leftarrow)$
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
함수 $f$가 유계이므로 모든 $x$에 대하여 $\left|f(x) \right| \leq M$인 $M >0$이 존재한다.
$D$가 측도 $0$이므로 가산개의 개구간 $(\alpha_{n}, \beta_{n})$이 존재하여
$D \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty} (a_{n}, b_{n})$ & $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n} - a_{n}) < \frac{\varepsilon}{4M}$
를 만족한다.
$x \in [a, b] - D$이면 $f$가 $x$에서 연속이므로 적당한 $\delta_{x} > 0$가 존재하여
$y \in N(x, \delta_{x}), \; y \in [a, b]$ $\Rightarrow$ $\left|f(y) - f(x) \right| < \frac{\varepsilon }{4(b-a)}$
를 만족한다.
$\mathfrak{C} = \left\{(\alpha_{n}, \beta_{n}) \; | \; n \in \mathbb{N} \right\} \; \cup \; \left\{N(x, \frac{\delta_{x}}{2}) \; | \; x \in [a, b] - D \right\}$라 하면
$\mathfrak{C}$는 compact set $[a, b]$의 개피복이므로 유한부분 피복이 존재한다.
이 부분피복의 끝점 중 $[a, b]$에 속하는 점과 $a, b$로 이루어진 분할을 $P = \left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$이라 하자.
이때 소구간 $ (x_{k-1}, x_{k})$이 적당한 $ N(x, \frac{\delta_{x}}{2})$에 포함되는 소구간의 첨자 $k$의 집합을 $J$라 하고
나머지 첨자의 집합을 $I$라 하자. 즉,
$J = \left\{k \in \left\{1, 2, \cdots, n \right\} \; | \; (x_{k-1}, x_{k}) \subset N(x, \frac{\delta_{x}}{2}) \; \text{for some} \; x \right\}$
$I = \left\{1, 2, \cdots, n \right\} \setminus J $
$\therefore$ $U(f, P) - L(f, P)$
$= \sum_{k \in J}^{} (M(f, I_{k}) - m(f, I_{k})) \Delta x_{k} + \sum_{k \in I}^{} (M(f, I_{k}) - m(f, I_{k})) \Delta x_{k}$
$< \frac{\varepsilon }{2(b-a)} \cdot (b-a) + 2M \cdot \frac{\varepsilon }{4M} = \varepsilon $
$\therefore$ $f \in \mathcal{R}[a, b]$
$\Rightarrow)$
hard