정의1
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 유계라고 하자.
1. $P = \left\{x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n} \right\}$
2. $I_{k} = [x_{k-1}, x_{k}]$, $\Delta x_{k} = x_{k} - x_{k - 1}$
3. $\mathcal{P}[a, b]$ : $[a, b]$의 분할 전체의 집합
4. $M(f, I_{k}) = \mathrm{sup} \left\{f(x) \; | \; x \in I _{k} \right\}$
5. $m(f, I_{k}) = \mathrm{inf} \left\{f(x) \; | \; x \in I _{k} \right\}$
6. $U(f, P) = \sum_{k=1}^{n} M(f, I_{k}) \Delta x_{k}$ : $P$에 대한 $f$의 리만 상합
7. $L(f, P) = \sum_{k=1}^{n} m(f, I_{k}) \Delta x_{k}$ : $P$에 대한 $f$의 리만 하합
Prop
$L(f, P) \leq U(f,P)$
정의2
임의의 $P_{1}, P_{2} \in \mathcal{P}[a, b]$에 대하여
1. $P_{1} \subset P_{2}$일 때 $P_{2}$를 $P_{1}$의 세분할(refinement)이라 한다.
2. $P = P_{1} \cup P_{2}$를 $P_{1}$과 $P_{2}$의 공통세분할이라 한다.
Prop
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 유계라고 하자.
임의의 $P_{1}, P_{2} \in \mathcal{P}[a, b]$에 대하여 $P_{1} \subset P_{2}$이면
$U(f, P_{1}) \geq U(f, P_{2})$, $L(f, P_{1}) \leq L(f, P_{2})$
정리1
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 유계라고 하자.
임의의 $P_{1}, P_{2} \in \mathcal{P}[a, b]$에 대하여
$L(f, P_{1}) \leq U(f, P_{2})$
pf)
$P = P_{1} \cup P_{2}$라 하면
$L(f, P_{1}) \leq L(f, P) \leq U(f, P) \leq U(f, P_{2})$
정의3
$f : [a, b] \to \mathbb{R}$가 유계라고 하자.
1. $\overline{\int_{a}^{b}} f(x)dx = \mathrm{inf} \left\{U(f, P) \; | \; P \in \mathcal{P}[a, b] \right\}$
를 $f$의 리만 상적분(upper Riemann integral)이라 한다.
2. $\underline{\int_{a}^{b}} f(x)dx = \mathrm{sup} \left\{L(f, P) \; | \; P \in \mathcal{P}[a, b] \right\}$
를 $f$의 리만 하적분(lower Riemann integral)이라 한다
# $\underline{\int_{a}^{b}} f(x)dx \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x)dx$
$\underline{\int_{a}^{b}} f(x)dx = \overline{\int_{a}^{b}} f(x)dx$일 때,
$f$는 $[a, b]$ 위에서 (리만)적분가능 또는 $R$-적분가능하다고 하고
$\int_{a}^{b} f(x)dx$, $\int_{a}^{b} f dx$ 등으로 나타낸다.
# $f \in \mathcal{R}[a,b]$로 나타낸다.
정의4
1. $f$가 $[a, b]$에서 적분가능할 때, $ \int_{b}^{a} f dx = - \int_{a}^{b} f dx$
2. $ \int_{c}^{c} f dx = 0$