정의1
함수 $f: X \to Y$, $g : Y \to Z$, 각 $x \in X$에 대하여
$g \circ f : X \to Z$, $(g \circ f)(x) = g(f(x))$
로 정의된 함수를 $f$와 $g$의 합성함수라 한다. 즉,
$g \circ f = \left\{(x, z) \in X \times Z \; | \; \exists y \in Y, \; (x,y) \in f \wedge (y,z) \in g \right\} $
정리1
함수 $f: X \to Y$, $g : Y \to Z$, $h : Z \to W$에 대하여 다음이 성립한다.
$(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$
# 증명생략
정리2
함수 $f: X \to Y$에 대하여
1. $g : Y \to X$가 존재하여 $g \circ f = I_{X}$이면 $f$는 단사함수이다.
2. $h : Y \to X$가 존재하여 $f \circ h = I_{Y}$이면 $f$는 전사함수이다.
pf)
$f(x_{1}) = f(x_{2})$라 하자.
$x_{1} = I_{X}(x_{1}) = g(f(x_{1})) = g(f(x_{2})) = I_{X}({x_{2}}) = x_{2}$
$\therefore$ $f$는 단사
$h : Y \to X$가 함수이므로
$\forall y \in Y, \; \exists x \in X \;\; h(y) = x$
$f(x) = f(h(y)) = I_{Y}(y) = y$
$\therefore$ $\forall y \in Y, \; \exists x \in X \;\; y=f(x)$
$\therefore$ $\mathrm{Im}(f) = Y$, 즉 $f$는 전사