정의1
함수 $f : X \to Y$, $A \subseteq X$, $B \subseteq Y$
1. $f(A) = \left\{f(x) \; | \; x \in A \right\} = \left\{y \; | \; \exists x \in A, \; y = f(x) \right\} $
를 $f$에 따른 $A$의 상 (image)
2. $f^{-1}(B) = {x \; | \; f(x) \in B}$
를 $f$에 따른 $B$의 역상(inverse image)
정리1
1. $y \in f(A)$ $\Leftrightarrow$ $\exists x \in A, \; y = f(x)$
2. $x \in A$ $\Rightarrow$ $f(x) \in f(A)$
3. $x \in f^{-1}(B)$ $\Leftrightarrow$ $f(x) \in B$
# 정의1로부터 얻어진다.
정리2
함수 $f : X \to Y$에 대하여 다음이 성립한다.
1. $f(\varnothing) = \varnothing$
2. $\forall x \in X, \; f(\left\{x \right\}) = \left\{f(x) \right\}$
3. $A \subseteq B \wedge B \subseteq X$이면 $f(A) \subseteq f(B)$
4. $C \subseteq D \wedge D \subseteq Y$이면 $f^{-1}(C) \subseteq f^{-1}(D)$
# 증명생략
정리3
함수 $f : X \to Y$, 정의역 $X$의 부분집합족 $\left\{A_{\gamma} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\} $에 대하여 다음이 성립한다.
1. $f(\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} f(A_{\gamma}) $
2. $f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) \subseteq \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} f(A_{\gamma}) $
pf)
$y \in f(\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})$
$\Leftrightarrow$ $\exists x \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}, \; y=f(x)$
$\Leftrightarrow$ $\exists \gamma \in \Gamma \;\; \exists x \in A_{\gamma}, \; y=f(x) $
$\Leftrightarrow$ $\exists \gamma \in \Gamma, \; y \in f(A_{\gamma})$
$\Leftrightarrow$ $y \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} f(A_{\gamma})$
각 $\gamma \in \Gamma$에 대하여, $ \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma} \subseteq A_{\gamma}$
위의 정리2 - 3에 의하여 $f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) \subseteq f(A_{\gamma})$
$\therefore$ $f(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} f(A_{\gamma})$
정리4
함수 $f : X \to Y$, 공역 $Y$의 부분집합족 $\left\{B_{\gamma} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\} $에 대하여 다음이 성립한다.
1. $f^{-1}(\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} f^{-1}(B_{\gamma}) $
2. $f^{-1}(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma}) \subseteq \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} f^{-1}(A_{\gamma}) $
pf)
$x \in f^{-1}(\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma})$
$\Leftrightarrow$ $f(x) \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}$
$\Leftrightarrow$ $\exists \gamma \in \Gamma, \; f(x) \in B_{\gamma}$
$\Leftrightarrow$ $\exists \gamma \in \Gamma, \; x \in f^{-1}(B_{\gamma})$
$\Leftrightarrow$ $x \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} f^{-1}(B_{\gamma})$
$x \in f^{-1}(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma})$
$\Leftrightarrow$ $f(x) \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}$
$\Leftrightarrow$ $\forall \gamma \in \Gamma, \; f(x) \in B_{\gamma}$
$\Leftrightarrow$ $\forall \gamma \in \Gamma, \; x \in f^{-1}(B_{\gamma})$
$\Leftrightarrow$ $x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} f^{-1}(B_{\gamma})$
정리5
함수 $f : X \to Y$, 공역 $Y$의 임의의 부분집합 $B,C$에 대하여 다음이 성립한다.
$f^{-1}(B - C) = f^{-1}(B) - f^{-1}(C)$
$x \in f^{-1}(B-C)$
$\Leftrightarrow$ $f(x) \in B-C$
$\Leftrightarrow$ $f(x) \in B \wedge f(x) \notin C$
$\Leftrightarrow$ $x \in f^{-1}(B) \wedge x \notin f^{-1}(C)$
$\Leftrightarrow$ $x \in f^{-1}(B) - f^{-1}(C)$