정의1
집합 $A$에서 집합 $B$로의 관계 $\mathcal{R}$은 데카르트곱 $A \times B$의 하나의 부분집합을 뜻한다. 여기서 $(a,b) \in \mathcal{R}$를 $a \mathcal{R} b$와 같이 나타내고 이 기호를 "$a$는 $\mathcal{R}$에 따라 $b$와 관계된다."라고 읽는다.
특히 $A, B$가 모두 $X$와 같은 경우 "$X$에서 $X$로의 관계 $\mathcal{R}$"이라고 하는 대신 "$X$에서의 관계 $\mathcal{R}$"이라고 한다.
정의2
집합 $A, B$에 대하여 $A$에서 $B$로의 관계 $\mathcal{R}$의 역관계를 $\mathcal{R}^{-1}$로 나타낸다. 여기서 $\mathcal{R}^{-1}$은 $B$에서 $A$로의 관계로서
$ a \mathcal{R} b \Leftrightarrow b \mathcal{R}^{-1} a$
즉,
$\mathcal{R}^{-1} = \left\{(b,a) \; | \; (a,b) \in \mathcal{R} \right\}$
정의3
$A$에서 $B$로의 관계 $\mathcal{R}$에 대하여
$\mathcal{R}$의 정의역(domain) : $\mathrm{Dom}(\mathcal{R}) = \left\{\begin{matrix} a \in A \; | \end{matrix}\right.$ 적당한 $b \in B$에 대하여 $\left.\begin{matrix} (a,b) \in \mathcal{R} \end{matrix}\right\}$
$\mathcal{R}$의 상(image) : $\mathrm{Im}(\mathcal{R}) = \left\{\begin{matrix} b \in B \; | \end{matrix}\right.$ 적당한 $a \in A$에 대하여 $\left.\begin{matrix} (a,b) \in \mathcal{R} \end{matrix}\right\}$
정의4
$\mathcal{R}$을 집합 $X$에서의 관계라 하자. (i.e. $\mathcal{R} \subseteq X \times X$)
1. 반사율(reflexivelaw) : $\forall x \in X, \; x \mathcal{R} x$일 때 $\mathcal{R}$을 반사적이라 한다.
2. 대칭율(symmetriclaw) : $ x \mathcal{R} y \Rightarrow y \mathcal{R} x$일 때 $\mathcal{R}$을 대칭적이라 한다.
3. 추이율(transitivelaw) : $ x \mathcal{R} y \wedge y \mathcal{R} z \Rightarrow x \mathcal{R} z$일 때 $\mathcal{R}$을 추이적이라 한다.
4. 동치관계(equivalencelaw) : $\mathcal{R}$이 반사율, 대칭율, 추이율을 모두 만족할 때, $\mathcal{R}$을 동치관계라 한다.