정의1
집합 $X$의 임의의 부분집합 $A, B, C$에 대하여 다음이 모두 성립할 때 집합 $\mathcal{P}$를 $X$의 분할이라고 한다.
1. $A, B \in \mathcal{P} \wedge A \neq B \Rightarrow A \cap B = \varnothing$
2. $\bigcup_{C \in \mathcal{P}}^{} C = X$
정의2
집합 $X$ 위의 하나의 동치관계를 $\mathcal{E}$라 할 때 각 $x \in X$에 대하여
$x / \mathcal{E} = \left\{y \in X \; | \; y \mathcal{E} x \right\}$
를 $x$의 동치류(equivalence class)라고 한다. 또 $X$에서의 동치류의 집합을 다음과 같이 나타낸다.
$X / \mathcal{E} = \left\{ x / \mathcal{E} \; | \; x \in X \right\}$
이 기호 $ X / \mathcal{E}$를 "$X$법$\mathcal{E}$($X$ mod $\mathcal{E}$)"라고 읽는다.
정리1
집합 $X$ 위의 동치관계 $\mathcal{E}$에 대하여 다음이 성립한다.
1. 각 $x / \mathcal{E}$는 $X$의 $\varnothing$이 아닌 부분집합이다.
2. $x \mathcal{E} y \Leftrightarrow x / \mathcal{E} \cap y / \mathcal{E} \neq \varnothing$
3. $x / \mathcal{E} = y / \mathcal{E} \Leftrightarrow x \mathcal{E} y$
pf)
$\mathcal{E}$은 반사적이므로 $\forall x \in X, \; x \mathcal{E} x$
$\therefore$ $x \in x / \mathcal{E}$
2.
$\Leftarrow)$
$ x / \mathcal{E} \cap y / \mathcal{E} \neq \varnothing$
$\Leftrightarrow$ $\exists z \in x / \mathcal{E} \cap y / \mathcal{E}$
$\Leftrightarrow$ $z \mathcal{E} x \wedge z \mathcal{E} y$
$\Leftrightarrow$ $x \mathcal{E} z \wedge z \mathcal{E} y$
$\Rightarrow$ $ x \mathcal{E} y$
$\Rightarrow)$
$ x \mathcal{E} y$ $\Rightarrow$ $x \in y / \mathcal{E}$
$\mathcal{E}$은 반사적이므로 $x \in x / \mathcal{E}$
$\therefore$ $x \in x / \mathcal{E} \cap y / \mathcal{E} \neq \varnothing$
3.
$\Rightarrow)$
위의 정리1 - 1, 2에 의하여 $x / \mathcal{E} = y / \mathcal{E} \Rightarrow x \mathcal{E} y$
$\Leftarrow)$
$\forall z \in x / \mathcal{E}$에 대하여, $z \mathcal{E} x$
$z \mathcal{E} x \wedge x \mathcal{E} y \Rightarrow z \mathcal{E} y$
$\Rightarrow$ $z \in y / \mathcal{E}$
$\therefore$ $ x / \mathcal{E} \subseteq y / \mathcal{E}$
같은 방법으로 $y / \mathcal{E} \subseteq x / \mathcal{E}$
$\therefore$ $x / \mathcal{E} = y / \mathcal{E}$
정리2
집합 $X$ 위의 동치관계 $\mathcal{E}$에 대하여 $X / \mathcal{E}$은 $X$의 분할이다.
$X / \mathcal{E} = \left\{ x / \mathcal{E} \; | \; x \in X \right\}$는 $X$의 부분집합들로 이루어진 집합족이다.
$ x / \mathcal{E} \cap y / \mathcal{E} \neq \varnothing \Rightarrow x / \mathcal{E} = y / \mathcal{E} $이므로
$ x / \mathcal{E} \neq y / \mathcal{E} \Rightarrow x / \mathcal{E} \cap y / \mathcal{E} = \varnothing $이다.
$\forall x \in X, \; x \in x / \mathcal{E}$이므로 $X \subseteq \bigcup_{x \in X}^{} x / \mathcal{E}$.
한편 $ x / \mathcal{E}$는 $X$의 부분집합 이므로 $\bigcup_{x \in X}^{} x / \mathcal{E} \subseteq X$.
$\therefore$ $\bigcup_{x \in X}^{} x / \mathcal{E} = X$
$\therefore$ $X / \mathcal{E}$은 $X$의 분할이다.
정의3
집합 $X$의 분할 $\mathcal{J}$에 대하여 $X$ 위의 관계 $X / \mathcal{J}$를 다음과 같이 정의한다. 집합 $A \in \mathcal{J}$가 존재하여
$\forall x, y \in A \Leftrightarrow x(X / \mathcal{J})y$
정리3
집합 $X$의 분할 $\mathcal{J}$에 대한 관계 $X / \mathcal{J}$는 $X$의 동치관계다. 이때 $X / \mathcal{J}$에 의해 유도된 동치류는 분할 $\mathcal{J}$를 이룬다. 즉,
$X / (X / \mathcal{J}) = \mathcal{J}$
$(\mathrm{i})$ 반사적
임의의 $x \in X$를 택하자.
$\mathcal{J}$가 $X$의 분할이므로 적당한 $A \in \mathcal{J}$가 존재하여 $x \in A$.
$\therefore$ $x, x \in A$ $\Rightarrow$ $ x(X / \mathcal{J})x$
$(\mathrm{ii})$ 대칭적
$ x(X / \mathcal{J})y$ $\Rightarrow$ 적당한 $A \in \mathcal{J}$가 존재하여 $x, y \in A$.
즉, $y, x \in A$이므로 $ y(X / \mathcal{J})x$
$(\mathrm{iii})$ 추이적
$ x(X / \mathcal{J})y \wedge y(X / \mathcal{J})z$이면 적당한 $A, B \in \mathcal{J}$가 존재하여 $x, y \in A \wedge y, z \in B$.
$\mathcal{J}$는 $X$의 분할이고 $y \in A \cap B$이므로 $A =B$이다.
즉, $x, z \in A$이므로 $ x(X / \mathcal{J})z$
$\therefore$ $X / \mathcal{J}$는 동치관계이다.
$(\mathrm{iv})$ $X / (X / \mathcal{J}) = \mathcal{J}$
$x \in X$라 하면 적당한 $A \in \mathcal{J}$가 존재하여 $x \in A$.
$y \in x / (X / \mathcal{J}) \; \Leftrightarrow \; y (X / \mathcal{J}) x \; \Leftrightarrow \; y, x \in A$
$\therefore$ $x / (X / \mathcal{J}) = A$ $\Rightarrow$ $X / (X / \mathcal{J}) \subseteq \mathcal{J}$
$\mathcal{J}$의 임의의 원소 $A$를 택하자. 적당한 $x \in X$가 존재하여 $x \in A$.
위와 같은 방법으로 $x / (X / \mathcal{J}) = A$.
$\therefore$ $X / (X / \mathcal{J}) \supseteq \mathcal{J}$
$\therefore$ $X / (X / \mathcal{J}) = \mathcal{J}$