피타고라스 세 쌍 (다른 접근)

 

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$    $(a, b, c \in \mathbb{Z} \setminus \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix})$

$\Rightarrow$ $(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1$    $ (\frac{a}{c}, \frac{b}{c} \in \mathbb{Q} \setminus \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix})$

 

i.e. Find $ x,y \in \mathbb{Q} \setminus \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$ s.t. $x^{2} + y^{2} = 1$

$x^{2} + y^{2} = 1$은 $(-1, 0)$을 지나므로

$(-1,0)$을 지나고 기울기가 $m \in \mathbb{Q}$인 직선과의 교점으로 $x,y$를 찾을 수 있다.

 

$\left\{\begin{matrix}
y = mx+m \\
x^{2}+y^{2} = 1\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $ x^{2}+(mx+m)^{2} = 1$

$\Rightarrow$ $ (m^{2}+1)x^{2}+2m^{2}x+m^{2}-1 = 0$

$\Rightarrow$ $ (x+1)((m^{2}+1)x+m^{2}-1) = 0$

$\therefore \; x = \frac{1-m^{2}}{1+m^{2}}, \; y = \frac{2m}{1+m^{2}}$

 

Let $m = \frac{v}{u} \;\; (u,v \in \mathbb{Z})$

$\Rightarrow$ $x = \frac{u^{2}-v^{2}}{u^{2}+v^{2}}, \; y = \frac{2uv}{u^{2}+v^{2}}$

$\Rightarrow$ $( u^{2}-v^{2}, 2uv, u^{2}+v^{2})$ is a $PPT$