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선형대수학/선형변환

동형사상

by 수학과 맛보기 2023. 12. 19.

 

정의1

$T:V \to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 선형변환일 때, $T$가 $V$의 서로 다른 벡터를 $W$의 서로 다른 벡터로 사상한다면 $T$를 일대일(one-to-one), 또는 단사라 한다.

 

 

 

정의2

$T:V \to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 선형변환일 때, $W$내의 모든 벡터가 $V$내의 최소한 한 개의 벡터의 상이면 $T$를 전사(onto)(혹은 $W$ 위로의 변환(onto $W$))라 한다.

 

 

 

정리1

$T:V \to W$가 선형변환이면 다음 명제는 동등하다.

$(1)$  $T$가 일대일이다.

$(2)$  $\ker(T) = \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$

 

pf)
$(1) \Rightarrow (2))$

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  $T$가 선형이므로 $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$이다.

  $T$는 일대일이므로 $\mathbf{0}$으로 사상되는 $V$ 내의 다른 벡터는 없다.

  $\therefore$  $\ker(T) = \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$

 

$(2) \Rightarrow (1))$

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  $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 $V$ 내의 임의의 벡터라 하면 $\mathbf{u} - \mathbf{v} \neq \mathbf{0}$이다. 

  $\ker(T) = \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$이므로 $T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) \neq \mathbf{0}$이다.

  $T$가 선형이므로

  $T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v}) = T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) \neq \mathbf{0}$

  $\therefore$  $T$가 일대일이다.

 

 

 

정리2

$V$가 유한차원 벡터공간이고, $T:V \to V$가 선형연산자이면, 다음 명제는 동등하다.

$(1)$  $T$가 일대일이다.

$(2)$  $\mathrm{ker}(T) = \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$

$(3)$  $T$가 전사이다. (즉, $\mathrm{R}(T) = V$)

 

# (선형변환-일반선형변환편 정리4 참고)

 

 

 

정의3

선형변환 $T:V \to W$가 일대일이자 전사이면 $T$를 동형사상(isomorphism)이라 하고, 벡터공간 $V$와 $W$는 동형(isomorphic)이라 한다.

 

 

 

정리3

모든 $n$차원 실벡터공간은 $\mathrm{R}^{n}$과 동형이다.

 

더보기

  $\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 $V$의 임의의 기저라 하자.

  $V$의 임의의 벡터 $\mathbf{u}$에 대하여

  $\mathbf{u} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}$

  을 기저벡터의 일차결합에 의한 표현이라 하고 변환 $T : V \to R^{n}$을 

  $T(\mathbf{u}) = (k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n})$

  으로 정의하자.

 

  Show 1 : $T$는 선형변환

  $\mathbf{u}, \mathbf{v}$를 $V$의 벡터, $c$를 스칼라라 하고

  $\mathbf{u} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}$     과     $\mathbf{v} = d_{1}\mathbf{v}_{1} + d_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + d_{n}\mathbf{v}_{n}$

  을 기저벡터의 일차결합에 의한 표현이라 하자.

 

  $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T((k_{1} + d_{1})\mathbf{v}_{1} + (k_{2} + d_{2})\mathbf{v}_{2} + \cdots + (k_{n} + d_{n})\mathbf{v}_{n}) $

                       $= (k_{1} + d_{1}, k_{2} + d_{2}, \cdots, k_{n} + d_{n})$
                       $= (k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}) + (d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n})$
                       $= T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$

 

  $T(c\mathbf{u}) = T(ck_{1}\mathbf{v}_{1} + ck_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + ck_{n}\mathbf{v}_{n})$
                $= (ck_{1}, ck_{2}, \cdots, ck_{n})$
                $= c(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n})$
                $= cT(\mathbf{u})$

 

  Show 2 : $T$는 일대일

  $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $V$의 서로 다른 벡터이면 적어도 하나의 $i$에 대하여 $k_{i} \neq d_{i}$이다. 즉,

  $T(\mathbf{u}) = (k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}) \neq (d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}) = T(\mathbf{v})$

 

  Show 3 : $T$는 전사

  $\mathbf{w} = (k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n})$

  이 $R^{n}$의 임의의 벡터일 때

  $\mathbf{u} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}$

  이면 $T(\mathbf{u}) = \mathbf{w}$이다.

 

  Show 1, Show 2, Show 3에 의하여 모든 $n$차원 실벡터공간은 $\mathrm{R}^{n}$과 동형이다.

 

 

 

정의4

$V$와 $W$가 내적공간이고

$$\left<T(\mathbf{u}), T(\mathbf{v}) \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>$$

이면 동형사상 $T:V \to W$를 내적공간 동형사상(inner product space isomorphism)이라 한다.

 

 

 

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