일반 선형변환의 행렬
$V$를 $n$ 차원 벡터공간이라 하고 $W$를 $m$ 차원 벡터공간이라 할 때 $T : V \to W$를 선형변환이라 하자.
또한 $B = \left\{\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots, \mathbf{u}_{n} \right\}$을 $V$의 기저라 하고 $B'$을 $W$의 기저라 하자.
이때 $[\mathbf{x}]_{B}$를 $[T(\mathbf{x})]_{B'}$으로 사상하도록 하는 $m \times n$ 해열 $A$를 찾으면 다음 방법으로 부터 $T(\mathbf{x})$를 구할 수 있다.
$T(\mathbf{x})$ 찾기
Step 1 : $[\mathbf{x}]_{B}$를 계산한다.
Step 2 : $A$의 오른쪽에 $[\mathbf{x}]_{B}$를 곱하여 $[T(\mathbf{x})]_{B'}$을 구한다.
Step 3 : $T(\mathbf{x})$의 좌표벡터 $[T(\mathbf{x})]_{B'}$으로부터 $T(\mathbf{x})$를 구한다.
$A$ 찾기
$V$의 모든 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여
$A[\mathbf{x}]_{B} = [T(\mathbf{x})]_{B'}$
를 만족하는 행렬 $A$를 찾으면 된다. 특히 $\mathbf{x} = \mathbf{u}_{i}$에 대하여 $[\mathbf{u}_{i}]_{B} = \mathbf{e}_{i}$이므로
$A\mathbf{e}_{i} = [T(\mathbf{u}_{i})]_{B}$
이다.
$\therefore$ $A = \left [ \; [T(\mathbf{u}_{1})]_{B'} \; | \; [T(\mathbf{u}_{2})]_{B'} \; | \; \cdots \; | \; [T(\mathbf{u}_{n})]_{B'} \; \right ]$
정의1
위 행렬을 기저 $B$와 $B'$에 관한 $T$의 행렬(the matrix for $T$ relative to the bases $B$ and $B'$)이라 하고 기호 $[T]_{B', B}$로 표기한다. 즉,
$[T]_{B', B} = \left [ \; [T(\mathbf{u}_{1})]_{B'} \; | \; [T(\mathbf{u}_{2})]_{B'} \; | \; \cdots \; | \; [T(\mathbf{u}_{n})]_{B'} \; \right ]$
$[T]_{B' , B} [\mathbf{x}]_{B} = [T(\mathbf{x})]_{B'}$
정의2
$V = W$인 특별한 경우 $T$의 행렬을 구성할 때 보통 $B = B'$으로 선택하는 것이 일반적이다. 이 경우에 계산된 행렬은 기저 $B$에 관한 $T$의 행렬(matrix for $T$ relative to the basis $B$)이라 하고 $[T]_{B}$라 표기한다. 즉,
$[T]_{B} = \left [ \; [T(\mathbf{u}_{1})]_{B} \; | \; [T(\mathbf{u}_{2})]_{B} \; | \; \cdots \; | \; [T(\mathbf{u}_{n})]_{B} \; \right ]$
$[T]_{B} [\mathbf{x}]_{B} = [T(\mathbf{x})]_{B}$
정리1
$T_{1} : U \to V$이고 $T_{2} : V \to W$가 선형변환이고 $B, B'', B'$이 각각 $U, V, W$의 기저일 때,
$[T_{1} \circ T_{2}]_{B' , B} = [T_{2}]_{B', B''}[T_{1}]_{B'', B}$
정리2
$T : V \to V$이 선형연산자이고 $B$가 $V$의 기저이면 다음은 동등하다.
$(1)$ $T$는 일대일이다.
$(2)$ $[T]_{B}$는 가역이다.
이 동등조건이 성립하면
$[T^{-1}]_{B} = [T]_{B}^{-1}$