정의1
$T:V \to W$가 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$로의 함수이고 $V$내의 모든 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$, 그리고 모든 스칼라 $k$에 대하여 다음의 두 가지 성질을 만족하면 $T$는 $V$에서 $W$로의 선형변환(linear transformations)이라 한다.
$(\mathrm{i})$ $T(k\mathbf{u}) = kT(\mathbf{u})$
$(\mathrm{ii})$ $ T(\mathbf{u} + \mathbf{v} ) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v}) $
특별히, $V=W$인 경우에, 선형변환 $T$는 벡터공간 $V$에서의 선형연산자(linear operator)라 한다.
정리1
$T:V \to W$가 선형변환이면 다음이 성립한다.
1. $T(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$
2. $V$의 모든 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$에 대하여 $ T(\mathbf{u} - \mathbf{v} ) = T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v}) $
pf)
$\mathbf{u}$를 $V$의 임의의 벡터라 하자. $0\mathbf{u} = \mathbf{0}$이므로
$T(\mathbf{0}) = T(0\mathbf{u}) = 0T(\mathbf{u}) = 0$
$T(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T(\mathbf{u} + (-1)\mathbf{v})$
$= T(\mathbf{u}) + (-1)T(\mathbf{v})$
$= T(\mathbf{u}) - T(\mathbf{v})$
정리2
$V$가 유한차원일 때 $T:V \to W$를 선형변환이라 하자. $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$이 $V$의 기저라면, $V$의 임의의 벡터 $\mathbf{v}$의 상은 다음과 같이 표현될 수 있다.
$$ T(\mathbf{v}) = c_{1}T(\mathbf{v}_{1}) + c_{2}T(\mathbf{v}_{2}) + \cdots + c_{n}T(\mathbf{v}_{n})$$
여기서 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$은 $\mathbf{v}$를 $S$의 벡터의 일차결합으로 표현하는데 사용된 계수이다.
# $T(c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}) = c_{1}T(\mathbf{v}_{1}) + c_{2}T(\mathbf{v}_{2}) + \cdots + c_{n}T(\mathbf{v}_{n})$
정의2
$T:V \to W$가 선형변환이면, $T$가 $\mathbf{0}$으로 사상하는 $V$의 벡터집합을 $T$의 핵(kernel)이라고 하고 $\mathrm{ker}(T)$라 표기한다. $V$의 최소한 한 개의 벡터가 $T$에 의하여 사상된 상으로 구성된 $W$의 모든 벡터의 집합을 $T$의 치역(range)라 하고 $\mathrm{R}(T)$로 표기한다.
정리3
$T:V \to W$가 선형변환이면
1. $T$의 핵은 $V$의 부분공간이다.
2. $T$의 치역은 $W$의 부분공간이다.
pf)
위의 정리1-1에 의하여 $\mathbf{0}$은 $\ker(T)$ 내부에 있다. 즉, $\ker(T)$는 공집합이 아니다.
Show 1 : 덧셈에 대한 닫힘성
$\mathbf{v}_{1}$과 $\mathbf{v}_{2}$를 $\ker(T)$ 내부의 벡터라 하자.
$T(\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) = T(\mathbf{v}_{1}) + T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$
이므로 $\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2} \in \ker(T)$
Show 2 : 곱셈에 대한 닫힘성
$k$를 임의의 스칼라라 하자.
$T(k\mathbf{v}_{1}) = kT(\mathbf{v}_{1}) = k\mathbf{0} = \mathbf{0}$
이므로 $k\mathbf{v}_{1} \in \ker(T)$
위의 정리1-1에 의하여 $\mathbf{0}$은 $R(T)$ 내부에 있다. 즉, $R(T)$는 공집합이 아니다.
Show 1 : 덧셈에 대한 닫힘성
$\mathbf{w}_{1}$과 $\mathbf{w}_{2}$를 $R(T)$ 내부의 벡터라 하자. 즉,
$T(\mathbf{v}_{1}) = \mathbf{w}_{1}$ 과 $T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{w}_{2}$
를 만족하는 $\mathbf{v}_{1}$과 $\mathbf{v}_{2}$가 $V$에 존재한다. 따라서
$T(\mathbf{v}_{1} + \mathbf{v}_{2}) = T(\mathbf{v}_{1}) + T(\mathbf{v}_{2}) = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} $
이므로 $\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \in R(T)$
Show 2 : 곱셈에 대한 닫힘성
$k$를 임의의 스칼라라 하자.
$T(k\mathbf{v}_{1}) = kT(\mathbf{v}_{1}) = k\mathbf{w}_{1}$
이므로 $k\mathbf{w}_{1} \in \ker(T)$
정의3
$T:V \to W$가 선형변환이라 하자. $T$의 치역이 유한차원이면, 그 차원을 $T$의 랭크(rank)라 하고 $T$의 핵이 유한차원이면 그 차원은 $T$의 무효차수(nullity)라 한다. $T$의 계수는 $\mathrm{rank}(T)$로 표기하고 $T$의 무효차수는 $\mathrm{nullity}(T)$라 표기한다.
정리4
$T:V \to W$가 $n$차원 벡터공간 $V$에서 벡터공간 $W$으로의 선형변환이면
$$ \mathrm{rank}(T) + \mathrm{nullity}(T) = n$$
이다.
Case 1 : $1 \leq \dim(\ker(T)) < n$
$\dim(\ker(T)) = r$이라 하고 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r}$을 $\ker(T)$의 기저라 하자.
$\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r} \right\}$은 일차독립이므로, $n-r$개의 벡터 $\left\{\mathbf{v}_{r+1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 더하여 확장된 집합
$\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{r}, \mathbf{v}_{r+1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 $V$의 기저로 삼을 수 있다.
$S = \left\{T(\mathbf{v}_{r+1}), \cdots, T(\mathbf{v}_{n}) \right\}$이라 하자.
Ca 1 - Show 1 : $S$가 $T$의 치역을 생성
$R(T)$의 임의의 벡터를 $\mathbf{b}$라 하자. 즉,
$T(\mathbf{v}) = \mathbf{b}$
를 만족하는 $V$ 내의 벡터 $\mathbf{v}$가 존재한다.
$\left\{\mathbf{v}_{1}, \cdots, \mathbf{v}_{r}, \mathbf{v}_{r+1}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$이 $V$의 기저이므로
$\mathbf{v} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + c_{r}\mathbf{v}_{r} + c_{r+1}\mathbf{v}_{r+1} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}$
인 $c_{1}, \cdots, c_{n}$이 존재한다.
이때 $\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r} \in \ker(T)$이므로
$\mathbf{b} = T(\mathbf{v}) = c_{r+1}T(\mathbf{v}_{r+1}) + \cdots + c_{n}T(\mathbf{v}_{n})$
이다.
Ca 1 - Show 2 : $S$가 일차독립
$k_{r+1}T(\mathbf{v}_{r+1}) + \cdots + k_{n}T(\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0}$
에 대하여 $T$가 선형이므로
$T(k_{r+1}\mathbf{v}_{r+1} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}) = \mathbf{0}$
이다. 따라서 $ k_{r+1}\mathbf{v}_{r+1} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} \in \ker(T)$이다. 즉,
$ k_{r+1}\mathbf{v}_{r+1} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} = k_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r}$
인 $k_{1}, \cdots, k_{r}$이 존재한다. 따라서
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + \cdots + k_{r}\mathbf{v}_{r} - k_{r+1}\mathbf{v}_{r+1} - \cdots - k_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} $
이고 $\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{r} \right\}$이 일차독립이므로 모든 $k$는 $0$이다.
Show 1과 Show 2에 의하여 $S$는 $R(T)$의 기저이다. 즉, $\dim(R(T)) = n-r$
$\therefore$ $\dim(R(T)) + \dim(\ker(T)) = (n-r) + r = n$
Case 2 : $\dim(\ker(T)) = 0$
$\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \right\}$을 $V$의 기저라 하자.
$S = \left\{T(\mathbf{v}_{1}), T(\mathbf{v}_{2}), \cdots, T(\mathbf{v}_{n}) \right\}$이라 하고 위와 비슷한 방법으로
$S$가 $R(T)$의 기저임을 증명할 수 있다. 즉, $\dim(R(T)) = n$
$\therefore$ $\dim(R(T)) + \dim(\ker(T)) = n + 0 = n$
Case 3 : $\dim(\ker(T)) = n$
위의 정리3-1에 의하여$\ker(T)$는 $V$의 부분공간이고 $\dim(\ker(T)) = n = \dim(V)$이므로
$\ker(T) = V$
이다.
(좌표와 기저-좌표, 기저, 차원편 정리6-3 참고)
즉, $V$내의 모든 벡터 $\mathbf{v}$에 대하여 $T(\mathbf{v}) = \mathbf{0}$이다.
$\therefore$ $R(T) = \left\{\mathbf{0} \right\}$이다. 즉, $\dim(R(T)) = 0$
$\therefore$ $\dim(R(T)) + \dim(\ker(T)) = 0 + n = n$