정의1
실내적공간의 두 개 이상의 벡터들로 이루어진 집합에서 서로 다른 모든 벡터들이 서로 직교하면, 그 집합을 직교집합(orthogonal set)이라고 한다. 모든 벡터의 놈이 1인 직교집합을 정규직교집합(orthnormal set)이라고 한다.
정의2
$\mathbf{v}$가 내적공간의 영이 아닌 벡터라 하면,
$$\left\|\frac{1}{\left\|\mathbf{v} \right\|} \mathbf{v} \right\| = \left|\frac{1}{\left\|\mathbf{v} \right\|} \right|\left\|\mathbf{v} \right\| = \frac{1}{\left\|\mathbf{v} \right\|} \left\|\mathbf{v} \right\| = 1$$
이 된다. 이로부터 영이 아닌 벡터에 그것의 놈의 역수를 곱해주게 되면 놈이 1인 벡터가 나오게 됨을 알 수 있다.
이런 방법을 $\mathbf{v}$의 정규화(normalizing $\mathbf{v}$)라고 한다.
정리1
내적공간의 영이 아닌 벡터로 이루어진 직교집합 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$은 일차독립이다.
$k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n} = \mathbf{0}$
에 대하여 $S$의 각 벡터 $\mathbf{v}_{i}$ $(i = 1, 2, \cdots, n)$를 내적하면
$\left<k_{1}\mathbf{v}_{1} + k_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + k_{n}\mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \right> = \left<\mathbf{0}, \mathbf{v}_{i} \right> = 0$
이다. 즉,
$k_{1}\left<\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \right> + k_{2}\left<\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \right> + \cdots + k_{n}\left<\mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \right> = 0$
이다. 이때 $S$가 직교집합이므로 $j \neq i$이면 $\left<\mathbf{v}_{j}, \mathbf{v}_{i} \right> = 0$이므로 위는
$k_{i} \left<\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \right> = 0$
과 같다.
$S$ 안의 벡터들은 영이 아니므로 $\left<\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \right> = 0$이다.
$\therefore$ $k_{i} = 0$ $(i = 1, 2, \cdots, n)$
$\therefore$ $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$은 일차독립
정의3
내적공간에서 정규직교벡터로 이루어진 기저를 정규직교기저(orthonormal basis)라 하고,
직교벡터로 이루어진 기저를 직교기저(orthogonal basis)라 한다.
정리2
1. 만약 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$가 내적공간의 $V$의 직교기저이고, $\mathbf{u}$가 $V$ 안의 임의의 벡터라고 하면 다음이 성립한다.
$$\mathbf{u} = \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{1} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{1} +
\frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{2} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots +
\frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{n} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{n}$$
2. 만약 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \end{Bmatrix}$가 내적공간의 $V$의 정규직교기저이고, $\mathbf{u}$가 $V$ 안의 임의의 벡터라고 하면 다음이 성립한다.
$$\mathbf{u} = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \right> \mathbf{v}_{1} +
\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \right> \mathbf{v}_{2} + \cdots +
\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{n} \right> \mathbf{v}_{n}$$
pf)
$\left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{n} \right\}$가 $V$의 기저이기 때문에 $V$ 안의 모든 벡터 $\mathbf{u}$는 다음과 같은 형태로 표현될 수 있다.
$\mathbf{u} = c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n} $
$S$의 각 벡터 $\mathbf{v}_{i}$ $(i = 1, 2, \cdots, n)$를 내적하면
$\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \right> = \left< c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{n}\mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \right>$
$= c_{1}\left<\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{i} \right> + c_{2}\left<\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{i} \right> + \cdots + c_{n}\left<\mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{i} \right>$
$= c_{i} \left<\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{i} \right>$
$= c_{i} \left\|\mathbf{v}_{i} \right\|^{2}$
$\therefore$ $c_{i} = \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{i} \right\|^{2}}$ $(i = 1, 2, \cdots, n)$
이때 $\left\|\mathbf{v}_{i} \right\| = 1$ $(i = 1, 2, \cdots, n)$이므로 1.에 의해 $c_{i} = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{i} \right>$이다.
정리3
$W$가 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이면, $V$의 모든 벡터 $\mathbf{u}$는 오직 한 가지 방법으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
$$\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}$$
단, $\mathbf{w}_{1}$은 $W$ 안의 벡터이며, $\mathbf{w}_{2}$은 $W^{\perp}$ 안의 벡터이다.
# 증명생략
정의4
위에 벡터 $\mathbf{w}_{1}$과 $\mathbf{w}_{2}$는 일반적으로 다음과 같이 표기된다.
$\mathbf{w}_{1} = \mathrm{proj}_{W} \mathbf{u}$ 와 $\mathbf{w}_{2} = \mathrm{proj}_{W^{\perp}} \mathbf{u}$
이 벡터들을 각각 $W$로의 $\mathbf{u}$의 정사영(또는 직교사영, orthogonal projection) 그리고 $W^{\perp}$로의 정사영(orthogonal projection of $\mathbf{u}$ on $W^{\perp}$)이라고 부른다. 벡터 $\mathbf{w}_{2}$는 $W$에 직교하는 $\mathbf{u}$의 성분(component of $\mathbf{u}$ orthogonal to $W$)으로도 불린다.
정리4
$W$를 내적공간 $V$의 유한차원 부분공간이라 하자.
1. $\begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \end{Bmatrix}$이 $W$의 직교기저이고 $\mathbf{u}$가 $V$의 임의의 벡터이면
$$\mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} = \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{1} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{1} +
\frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{2} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots +
\frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{r} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{r} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{r}$$
2. $\begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{r} \end{Bmatrix}$이 $W$의 정규직교기저이고 $\mathbf{u}$가 $V$의 임의의 벡터이면
$$\mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \right> \mathbf{v}_{1} +
\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \right> \mathbf{v}_{2} + \cdots +
\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{r} \right> \mathbf{v}_{r}$$
pf)
위의 정리3에 의하여 벡터 $\mathbf{u}$는 오직 한 가지 방법으로 다음과 같이 표현된다. $$\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}$$
이때 $\mathbf{w}_{1}$은 $W$ 안의 벡터이며, $\mathbf{w}_{2}$은 $W^{\perp}$ 안의 벡터이다.
위의 정리2에 의하여 $\mathrm{proj}_{W}\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1}$은 $W$의 직교기저벡터들을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. $$\mathrm{proj}_{W}\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} = \frac{\left<\mathbf{w}_{1}, \mathbf{v}_{1} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{1} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \frac{\left<\mathbf{w}_{1}, \mathbf{v}_{2} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{2} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \frac{\left<\mathbf{w}_{1}, \mathbf{v}_{r} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{r} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{r}$$
$\mathbf{w}_{2}$는 $W$에 직교하기 때문에
$\left<\mathbf{w}_{2}, \mathbf{v}_{i} \right> = 0$ $(i = 1, 2, \cdots r)$
를 만족한다. 즉, $$\mathrm{proj}_{W}\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} = \frac{\left<\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}, \mathbf{v}_{1} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{1} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \frac{\left<\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} , \mathbf{v}_{2} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{2} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \frac{\left<\mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} , \mathbf{v}_{r} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{r} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{r}$$
이다. 따라서 $$\mathrm{proj}_{W}\mathbf{u} = \mathbf{w}_{1} = \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{1} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{1} + \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{2} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{2} + \cdots + \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{r} \right>}{\left\|\mathbf{v}_{r} \right\|^{2}} \mathbf{v}_{r} $$
이때 $\left\|\mathbf{v}_{i} \right\| = 1$ $(i = 1, 2, \cdots, n)$이므로 1.에 의해 $$\mathrm{proj}_{W} \mathbf{u} = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{1} \right> \mathbf{v}_{1} +
\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{2} \right> \mathbf{v}_{2} + \cdots +
\left<\mathbf{u}, \mathbf{v}_{r} \right> \mathbf{v}_{r}$$
이다.
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