내적

 

정의1

실벡터공간 $V$상의 내적(inner product)이란 $V$에 속하는 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 각 쌍에 실수 $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>$를 대응시키는 함수로서, $V$에 속하는 모든 벡터 $ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$와 모든 스칼라 $k$에 대해서 다음 공리들을 만족해야 한다.

1.  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = \left<\mathbf{v}, \mathbf{u} \right>$

2.  $\left<\mathbf{u} + \mathbf{v} , \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> + \left<\mathbf{v}, \mathbf{w} \right> $

3.  $\left<k\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = k \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>$

4.  $\left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right> \geq 0$ 단, $\left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right> = 0 \Leftrightarrow \mathbf{v} = \mathbf{0}$

내적을 갖는 실벡터공간을 실내적공간(real inner product space)이라 한다.

 

# 정의1은 오직 실벡터공간에만 적용된다 

 

정의2

$\mathrm{R}^{n}$의 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 각 내적을 다음과 같이 정의하게 되면, 그 공리들이 자동적으로 만족하게 된다.

$$\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> =  \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + \cdots + u_{n}v_{n}$$

$\mathrm{R}^{n}$에서 정의가 가능한 다른 내적들과 구분하기 위해서, 이런 내적을 흔히 $\mathrm{R}^{n}$의 유클리드 내적(Euclidean inner product) 또는 표준내적(standard inner product)이라고 부른다.

유클리드 내적을 만족하는 $\mathrm{R}^{n}$을 유클리드 $n$-공간(Euclidean $n$-space)이라 부른다.

 

 

 

정의3

$V$를 내적공간이라 할 때 $V$에 속하는 벡터 $\mathbf{v}$의 놈(norm) 또는 길이(length)를 $\left\|\mathbf{v} \right\|$로 표시하고

$$\left\|\mathbf{v} \right\| = \sqrt{\left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right>}$$

로 정의한다. 두 벡터 $ \mathbf{u}$와 $ \mathbf{v}$ 사이의 거리(distance)는 $ d(\mathbf{u}, \mathbf{v})$로 표시하고 다음과 같이 정의한다.

$$d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \left\| \mathbf{u} - \mathbf{v} \right\| = \sqrt{\left< \mathbf{u} - \mathbf{v} , \mathbf{u} - \mathbf{v} \right>} $$

놈이 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라 부른다.

 

 

 

정리1

만약 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 실내적공간 $V$안의 벡터이고 $k$가 스칼라라고 하면

1.  $\left\| \mathbf{v} \right\| \geq 0$ 단, 등호가 성립할 필요충분조건은 $ \mathbf{v} = \mathbf{0}$이다.

2.  $\left\| k \mathbf{v} \right\| = \left| k \right| \left\| \mathbf{v} \right\| $

3.  $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = d(\mathbf{v}, \mathbf{u})$

4.  $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \geq 0$ 단, 등호가 성립할 필요충분조건은 $\mathbf{u} = \mathbf{v}$이다.

# 증명은 위의 정의를 이용하여 쉽게할 수 있으므로 생략

 

 

 

정리2

$ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$가 실내적공간 $V$ 안의 벡터들이고, $k$가 스칼라일 때 다음이 성립한다.

1.  $\left<\mathbf{0}, \mathbf{v} \right> = \left<\mathbf{v}, \mathbf{0} \right> = 0$

2.  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> + \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> $

3.  $k \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = \left<\mathbf{u}, k \mathbf{v} \right> $

4.   $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} - \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> - \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> $

5.  $\left<\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> - \left<\mathbf{v}, \mathbf{w} \right> $

 

pf)

  $\left<\mathbf{0}, \mathbf{v} \right> = \left<2\mathbf{0}, \mathbf{v} \right> $

               $= 2\left<\mathbf{0}, \mathbf{v} \right>$

  $\therefore$  $\left<\mathbf{0}, \mathbf{v} \right> = \left<\mathbf{v}, \mathbf{0} \right> = 0$

 

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{v} + \mathbf{w}, \mathbf{u} \right>$

                          $= \left<\mathbf{v}, \mathbf{u} \right> + \left<\mathbf{w}, \mathbf{u} \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> + \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right>$

 

  $k\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = k\left<\mathbf{v}, \mathbf{u} \right>$

                   $= \left<k\mathbf{v}, \mathbf{u} \right>$

                   $= \left<\mathbf{u}, k\mathbf{v} \right>$

 

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} - \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} + (-\mathbf{w}) \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> + \left<\mathbf{u}, -\mathbf{w} \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> + \left<\mathbf{u}, (-1)\mathbf{w} \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> - \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right>$

 

  $\left<\mathbf{u} - \mathbf{v}, \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u} + (-\mathbf{v}), \mathbf{w} \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> + \left<-\mathbf{v}, \mathbf{w} \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> + \left<(-1)\mathbf{v}, \mathbf{w} \right>$

                          $= \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> - \left<\mathbf{v}, \mathbf{w} \right>$

 

 

 

내적의 종류

1. 유클리드 가중내적

  가중치(weights)라고 부르는 양의 실수 $w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}$이 주어지고

  $\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n})$과 $\mathbf{v} = (v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n})$이 $R^{n}$의 벡터일 때 공식

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = w_{1}u_{1}v_{1} + w_{2}u_{2}v_{2} + \cdots + w_{n}u_{n}v_{n}$

  은 $R^{n}$의 내적을 정의한다.

  이것을 가중치 $w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}$을 갖는 유클리드 가중내적

  (weighted Euclidean inner product with weights $w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}$)이라 한다.

 

2. 행렬내적

  $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$를 $R^{n}$의 열벡터라 하고 $A$가 가역인 $n \times n$ 행렬이라 하자. $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$를 $R^{n}$ 상의 유클리드 내적이라고 하면

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = A\mathbf{u} \cdot A\mathbf{v}$

  는 내적을 정의한다.

  이것을 $A$에 의해 생성되는 $R^{n}$상의 내적(innerproduct on $R^{n}$ generated by $A$)이라 한다.

 

  # $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = A\mathbf{u} \cdot A\mathbf{v} = (A\mathbf{v})^{T}A\mathbf{u} = \mathbf{v}^{T}A^{T}A\mathbf{u}$

 

3. $M_{nn}$상의 내적

  $U$와 $V$를 $n \times n$ 행렬이라고 할 때 다음의 공식

  $\left<U, V \right> = \mathrm{tr}(U^{T}V)$

  은 $M_{nn}$ 벡터 공간상의 내적을 정의한다.

 

  # $\left<U, V \right>$는 두 행렬의 대응하는 성분들의 점곱이다.

 

4. $P_{n}$의 표준내적

  $\mathbf{p} = a_{0} + a_{1}x + \cdots + a_{n}x^{n}$과 $\mathbf{q} = b_{0} + b_{1}x + \cdots + b_{n}x^{n} $이 $P_{n}$의 다항식들이면 다음의 공식

  $\left<\mathbf{p}, \mathbf{q} \right> = a_{0}b_{0} + a_{1}b_{1} + \cdots + a_{n}b_{n}$

  은 $P^{n}$의 내적을 정의한다.

  이것을 $P_{n}$의 표준내적(standard inner product)이라 한다.

 

5. $P_{n}$의 평가내적

  $\mathbf{p} = a_{0} + a_{1}x + \cdots + a_{n}x^{n}$과 $\mathbf{q} = b_{0} + b_{1}x + \cdots + b_{n}x^{n} $이 $P_{n}$의 다항식이고

  $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$이 서로 다른 실수라면

  $\left<\mathbf{p}, \mathbf{q} \right> = p(x_{0})q(x_{0}) + p(x_{1})q(x_{1}) + \cdots + p(x_{n})q(x_{n})$

  은 $P_{n}$ 의 내적을 정의한다.

  이것을 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$에서의 $P_{n}$상의 평가내적(evaluation inner product)이라 한다.

 

6. $C[a,b]$상의 내적

  $\mathbf{f} = f(x)$와 $\mathbf{g} = g(x)$를 $C[a, b]$에 속한다고 하면

  $\left<\mathbf{f}, \mathbf{g} \right> = \int_{a}^{b} f(x)g(x) dx$

  는 $C[a,b]$의 내적을 정의한다.