내적공간에서의 각도와 직교성

 

정리1 코시-슈바르츠의 부등식(Caucy-Schwarz Inequality)

만약 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 실내적공간 $V$ 안의 벡터들이라면 다음이 성립한다.

$$\left| \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> \right| \leq \left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|$$

 

  Case 1 : $\mathbf{u} = \mathbf{0}$

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = 0$이고 $\left\|\mathbf{u} \right\| = 0$이므로

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = \left\|\mathbf{u} \right\|$

 

  Case 2 : $\mathbf{u} \neq \mathbf{0}$

  $a = \left<\mathbf{u}, \mathbf{u} \right>, \quad b = 2\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>, \quad c = \left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right>$

  이라 하고, $t$를 임의의 실수라 하자.

  자기 자신과의 내적은 음수가 아니므로

  $0 \leq \left<t\mathbf{u} + \mathbf{v}, t\mathbf{u} + \mathbf{v} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{u} \right>t^{2} + 2\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>t + \left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right>$
                                         $= at^{2} + bt + c $

  를 만족한다.

  이는 2차 다항식 $at^{2} + bt + c $가 실근을 갖지 않거나 중복된 실근을 가짐을 의미한다. 즉,

  $b^{2} - 4ac \leq 0$

  를 만족한다.

  $a, b, c$를 다시 벡터 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$로 표현하면

   $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> ^{2} \leq \left<\mathbf{u}, \mathbf{u} \right> \left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right>$

  이다. 이때 $\left<\mathbf{u}, \mathbf{u} \right>$와 $\left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right>$가 음이 아니므로

 

  $\therefore$  $\left| \left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> \right| \leq \left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|$

 

 

 

정의1

코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 다음을 얻을 수 있다.

$$-1 \leq \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>}{\left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|} \leq 1$$

이것으로부터, 다음과 같이 라디안 단위의 유일한 각도 $ \theta$가 존재한다.

$\mathrm{cos} \, \theta = \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>}{\left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|}$  그리고  $0 \leq \theta \leq \pi$

이것은 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$ 사이의 각 $ \theta$를 다음과 같이 정의할 수 있도록 해준다.

$$\theta = \mathrm{cos}^{-1} ( \frac{\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right>}{\left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\|})$$

 

 

 

정리2

$ \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$가 실내적공간 $V$ 안의 벡터들이고, $k$가 스칼라일 때 다음이 성립한다.

1.  $\left\| \mathbf{u} + \mathbf{v} \right\| \leq \left\| \mathbf{u} \right\| + \left\| \mathbf{v} \right\| $

2.  $ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \leq d(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + d(\mathbf{w}, \mathbf{v})$

 

pf)

  $\left\|\mathbf{u + v} \right\|^{2} = \left< \mathbf{u} + \mathbf{v} , \mathbf{u} + \mathbf{v} \right>$

                        $=\left< \mathbf{u}, \mathbf{u}  \right> + 2\left< \mathbf{u}, \mathbf{v}  \right> + \left< \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \right>$

                        $= \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2\left< \mathbf{u}, \mathbf{v}  \right> + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$

                        $\leq \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2\left| \left< \mathbf{u}, \mathbf{v}  \right> \right| + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$

                        $\leq \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2 \left\|\mathbf{u} \right\| \left\|\mathbf{v} \right\| + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$

                        $= (\left\|\mathbf{u} \right\| + \left\|\mathbf{v} \right\|)^{2}$

 

  $\therefore$  $\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\| \leq \left\|\mathbf{u} \right\| + \left\| \mathbf{v} \right\|$

 

  $d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \left\|\mathbf{u} - \mathbf{v} \right\|$

                   $= \left\|(\mathbf{u} - \mathbf{w}) + (\mathbf{w} - \mathbf{v}) \right\|$

                   $\leq \left\|\mathbf{u} - \mathbf{w} \right\| + \left\|\mathbf{w} - \mathbf{v} \right\|$

                   $= d(\mathbf{u}, \mathbf{w}) + d(\mathbf{w}, \mathbf{v})$

 

 

 

정의2

내적공간의 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 $\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> = 0$을 만족하게 될 때 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 직교(orthogonal)한다고 한다.

 

 

 

정리3

내적공간에서 직교하는 두 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$\left\|\mathbf{u + v} \right\|^{2} = \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$$

 

  $\left\|\mathbf{u} + \mathbf{v} \right\|^{2} = \left<\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \right>$

                       $= \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + 2\left<\mathbf{u}, \mathbf{v} \right> + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$

                       $= \left\|\mathbf{u} \right\|^{2} + \left\|\mathbf{v} \right\|^{2}$

 

 

 

정의3

만약 $W$를 내적공간 $V$의 부분공간이라 하면, $W$의 모든 벡터와 직교하는 $V$ 안의 모든 벡터들의 집합을 $W$의 직교여공간(orthogonal complement)이라 하며, $W^{\perp }$ 기호로 표시한다.

 

 

 

정리4

만약 $W$가 내적공간 $V$의 부분공간이라 하면 다음이 성립한다.

1.  $W^{\perp }$는 $V$의 부분공간이다.

2.  $W \cap W^{\perp } = \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$

 

pf)

  $W$ 안의 모든 벡터 $\mathbf{w}$에 대해서 $\left<\mathbf{0}, \mathbf{w} \right> = 0$이기 때문에 $W^{\perp}$ 집합은 최소한 영벡터를 포함한다.

 

  Show 1 : 덧셈에 대한 닫힘성

  $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 $W^{\perp}$ 안의 벡터들이라 하자. 즉, $W$ 안의 모든 벡터 $\mathbf{w}$에 대하여

  $\left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> = 0$,  $\left<\mathbf{v}, \mathbf{w} \right> = 0$

  을 만족한다. 따라서

  $\left<\mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{w} \right> = \left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> + \left<\mathbf{v}, \mathbf{w} \right> = 0 + 0 = 0$

  $\therefore$  $ \mathbf{u} + \mathbf{v} \in W^{\perp}$

 

  Show 2 : 곱셈에 대한 닫힘성

  $\left<k\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> = k\left<\mathbf{u}, \mathbf{w} \right> = k \times 0 = 0$

  $\therefore$  $ k\mathbf{u} \in W^{\perp}$

 

 

  $\mathbf{v}$가 $W$와 $W^{\perp}$의 공통부분이면 $\mathbf{v}$는 자기 자신과 직교하게 된다. 따라서

  $\left<\mathbf{v}, \mathbf{v} \right> = 0$

  을 만족한다. 즉, $\mathbf{v} = \mathbf{0}$이다.

  $\therefore$  $W \cap W^{\perp } = \begin{Bmatrix} \mathbf{0} \end{Bmatrix}$

 

 

 

정리5

$W$를 유한차원 내적공간 $V$의 부분공간이라 하면 다음이 성립한다.

$$(W^{\perp })^{\perp} = W$$

 

# 증명생략