점별수렴과 평등수렴(pointwise convergence and uniform convergence)

 

이번 글에서는 함수열의 수렴에 관하여 알아볼 것이다.

 

정의1
$D$를 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라고 하고 $\left<f_{n} \right>$을 $D$ 위에서 정의된 함수열이라고 할 때, 각 점 $x \in D $에 대응된 수열 $\left<f_{n}(x) \right>$가 수렴하면, 함수열 $\left<f_{n} \right>$은 $D$ 위에서 점별수렴(pointwise convergence) 한다 또는 간단히 수렴한다고 말한다. 이때, 새로운 함수 $f : D \to \mathbb{R}$을 

$f(x) = \displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n}(x)$

로 정의할 때, 이 함수 $f$를 $\left<f_{n} \right>$의 점별극한함수(pointwise limit function) 또는 간단히 극한함수라고 부른다.

함수열 $\left<f_{n} \right>$이 $D$ 위에서 점별수렴하고 그 극한함수를 $f$라고 할 때, $\left<f_{n} \right>$은 $f$에 점별수렴한다고 말한다. 즉,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty } f_{n} = f $ 또는 $n \to \infty $일 때 $f_{n} \to f$

 

$x$가 미리 고정된 상태에서 $n$이 증감함에 따라 수렴여부를 생각한다. 즉, 실수열 $\left<f_{n}(x) \right>$로서의 수렴성으로 생각할 수 있다. 따라서 식으로서 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\left<f_{n} \right>$ pointwise convergence

$\Leftrightarrow  $  $\forall x \in D, \; \forall \varepsilon > 0, \; \exists N(x, \varepsilon ) \in  \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq N \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon )$

 

 

 

정의2

실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $D$ 위에서 정의된 함수열 $\left<f_{n} \right>$과 함수 $f : D \to \mathbb{R}$에 대하여, 명제 

$\forall \varepsilon > 0, \; \exists N(\varepsilon ) \in  \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (x \in  D, \; n \geq N \Rightarrow \left|f_{n}(x) - f(x) \right| < \varepsilon )$

를 만족한다면, $\left<f_{n} \right>$은 $D$위에서 $f$에 평등수렴(uniform convergence) 한다고 말하고, 이때 기호 $f_{n} \rightrightarrows f$로 나타낸다. 

 

# 여기서 자연수 $N$은 $\varepsilon$에만 의지함을 인지하여라.

 

 

 

어떤 함수열이 평등수렴인가 아닌가를 판단할 때 종종 평등수렴 정의의 부정명제를 활용하기도 한다.

 

평등수렴 부정

$\left<f_{n} \right>$ not uniform convergence

$\Leftrightarrow  $  $\exists \varepsilon_{0} > 0, \; \forall N \in  \mathbb{N}, \; (\exists x \in D, \; \exists n \geq N, \; \left|f_{n}(x) - f(x) \right| \geq \varepsilon_{0})$

 

이를 다시 쓰면 

임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대하여, 적당한 $\left<f_{n} \right>$의 부분수열 $\left<f_{n_{k}} \right>$와 $D$에서 수열 $\left<x_{k} \right>$가 존재하여

모든 자연수 $k$에 대하여 $\left|f_{n_{k}}(x_{k}) - f(x_{k}) \right| \geq \varepsilon_{0}$

를 만족하는 적당한 $\varepsilon_{0} > 0$이 존재하는 것이다.