벡터공간

 

정의1

$V$를 두 연산 덧셈과 스칼라곱셈이 정의 되는, 개체들의 집합이라 하자. $V$는 공집합이 아니라고 가정하자.

여기서 덧셈(addition)이란, $V$의 임의의 한 쌍의 개체 $\mathbf{u}, \mathbf{v}$에 대해서 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$의 합(sum)이라 불리는 개체 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$를 연관시키는 규칙을 뜻한다.

또한, 스칼라곱(scalar multiple)이란, $V$의 임의의 개체 $\mathbf{u}$와 임의의 스칼라 $k$에 대해서 스칼라배(scalar multiple)라고 불리는 개체 $k\mathbf{u}$를 연관시키는 규칙을 뜻한다.

 

다음 모든 공리가 $V$의 모든 개체 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} $와 모든 스칼라 $k, m$에 대하여 만족 될 때, $V$을 벡터공간(vector space)이라 하고 $V$의 개체를 벡터(vector)라 부른다.

 

1.  $\mathbf{u}, \mathbf{v}$가 $V$의 개체이면 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$도 $V$에 속한다.

2.  $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u} $

3.  $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w}) $

4.  $V$의 모든 $\mathbf{u}$ 에 대해서 $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0} + \mathbf{u} = \mathbf{u} $를 만족하는 개체 $\mathbf{0}$이 $V$에 존재한다. 이것을 $V$의 영벡터(zero vector)라고 부른다.

5.  $V$의 모든 $\mathbf{u}$ 에 대해서 $\mathbf{u} + (\mathbf{-u}) = (\mathbf{-u}) + \mathbf{u} = \mathbf{0} $을 만족하는 개체 $\mathbf{-u}$이 $V$에 존재한다. 이것을 $V$의 $\mathbf{u}$의 음(negative of $\mathbf{u}$)이라 부른다.

6.  $k$가 임의의 스칼라이고 $\mathbf{u}$가 $V$의 개체이면 $k\mathbf{u}$는 $V$에 속한다.

7.  $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v} $

8.  $(k+m)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + m\mathbf{u} $

9.  $k(m\mathbf{u}) = (km)(\mathbf{u})$

10.  $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

 

※ 여기서 스칼라는 실수 또는 복소수일 수 있다. 실수스칼라를 갖는 벡터공간은 실벡터공간이라 부르고, 복소수스칼라를 갖는 벡터공간은 복소벡터공간이라 부른다.

 

 

 

벡터공간의 종류

1. 영벡터 공간

:  $\mathbf{0}$으로만 구성된 집합 $V$

 

2. $R^{n}$

 

3. 실수의 무한수열

:  $\mathbf{u} = (u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}, \cdots )$들로 구성된 집합 $V$

 

4. $m \times n$ 행렬

:  모든 $m \times n$ 행렬의 집합 $M_{mn}$

 

5. 실함수

:  구간 $(-\infty, \infty)$의 $x$에 대해 정의된 실함수의 집합 $V$

 

 

 

정리1

$V$는 벡터공간, $\mathbf{u}$는 $V$의 벡터, $k$는 스칼라라 할 때

1.  $0\mathbf{u} = \mathbf{0}$

2.  $k\mathbf{0} = \mathbf{0}$

3.  $(-1)\mathbf{u} = \mathbf{-u}$

4.  만약 $k\mathbf{u} = \mathbf{0}$이면, $k = 0$이거나 $\mathbf{u} = \mathbf{0}$

 

pf)

  $0\mathbf{u} + 0\mathbf{u} = (0+0)\mathbf{u}$                 [공리 8]

                     $=0\mathbf{u}$                              [$0$의 성질]

  공리 5에 의하여 벡터 $0\mathbf{u}$은 역원 $-0\mathbf{u}$을 갖는다. 위의 양변에 $-0\mathbf{u}$을 더하면

  $[0\mathbf{u} + 0\mathbf{u}] + (-0\mathbf{u}) = 0\mathbf{u} + (-0\mathbf{u})$

  $0\mathbf{u} + [0\mathbf{u} + (-0\mathbf{u})] = 0\mathbf{u} + (-0\mathbf{u})$                 [공리 3]

  $0\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{0}$                                                                 [공리 5]

  $0\mathbf{u} = \mathbf{0}$                                                                          [공리 4]

 

  $k\mathbf{0} = k(0\mathbf{u})$                            [정리1-1]

         $= (k \times 0) \mathbf{u}$                      [공리 9]

         $= 0 \mathbf{u}$                                   [0의 성질]

         $= \mathbf{0}$                                      [정리1-1]

 

  $\mathbf{u} + (-1)\mathbf{u} = 1\mathbf{u} + (-1)\mathbf{u}$                        [공리 10]

                           $=(1 + (-1))\mathbf{u}$                       [공리 8]

                           $= 0\mathbf{u}$                                            [실수의 성질]

                           $= \mathbf{0}$                                               [정리1-1]

 

  Case 1 : $k = 0$

  Clear

 

  Case 2 : $k \neq 0$

  양변에 $k$를 나누면

  $\frac{1}{k}(k\mathbf{u}) = \frac{1}{k}\mathbf{0}$

  $(\frac{1}{k} \times k) \mathbf{u} = \mathbf{0}$                 [공리 9, 정리1-2]

  $1 \mathbf{u} = \mathbf{0}$                               [실수의 성질]

  $\mathbf{u} = \mathbf{0}$                                  [공리 10]