하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)

 

하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)를 알아보기에 앞서 이를 증명할 때 필요한 정리 2가지를 알아보자.

 

정리1

폐구간 $[a,b]$는 compact set이다.

 

  Suppose 1 : 폐구간 $[a,b]$는 compact set이 아니다.

  즉, 유한개 원소의 합집합으로 덮을수 없는 $[a,b]$의 open cover $\mathfrak{C} = \left\{O_{\alpha } \; | \; \alpha \in I\right\}$가 존재한다. 

 

  이때 $I_{1} = [a,b] = [a_{1},b_{1}]$라 하고 $c_{1} = \frac{a_{1}+b_{1}}{2}$라 하자.

 

  if $[c_{1},b_{1}]$을 유한개의 $O_{\alpha }$의 합집합으로 덮을수 없다.

  $\quad I_{2} = [c_{1},b_{1}] = [a_{2},b_{2}]$

  else

  $\quad I_{2} = [a_{1},c_{1}] = [a_{2},b_{2}]$

  라 하자. $I_{2} = [a_{2},b_{2}]$에 대하여도 똑같은 방법을 적용하여 $I_{3}$를 얻는다. 이 작업을 계속 반복한다.

  그러면 $\forall n \in N, \; I_{n} = [a_{n},b_{n}]$에 대하여 $I_{n}$을 유한개의 $O_{\alpha }$의 합집합으로 덮을 수 없다.

  또한 $\left| I_{n+1} \right| = \frac{\left| I_{n} \right|}{2}$ 이다. (이때 $\left| I_{n} \right|$은 구간 $I_{n} $의 길이다.) 즉, $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left| I_{n} \right| = 0$

 

  임의의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n} \leq b_{n}$,  $I_{n} \supset I_{n+1} $을 만족하므로 축소구간 정리에 의해 $\bigcap_{n=1}^{\infty } I_{n} \neq \varnothing$이다.

  $\bigcap_{n=1}^{\infty } I_{n} $의 한 원소를 $\alpha $라 하자.

 

  $\alpha \in [a,b]$이므로 적당한 $\beta \in I$가 존재하여

  $\alpha \in O_{\beta }$

  를 만족한다.

  이때 $O_{\beta }$는 open set이므로 적당한 $\varepsilon > 0$가 존재하여

  $N(\alpha, \varepsilon ) \subset O_{\beta }$

  를 만족한다.

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left| I_{n} \right| = 0$이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $\left|I_{N} \right| < \varepsilon $

  를 만족한다.

  $\therefore$  $\alpha - \varepsilon < a_{N} \leq \alpha \leq b_{N} < \alpha + \varepsilon$  $\Rightarrow$  $I_{N} \subset N(\alpha , \varepsilon ) \subset O_{\beta }$

  즉, $I_{N}$을 유한개의 $O_{\alpha }$의 합집합($O_{\beta }$)으로 덮을 수 있다.

  Contradiction

 

 

 

정리2

$K$ compact set,  $D \subset K$,  $D$ closed set  $\Rightarrow$  $D$ compact set

 

  집합 $D$의 임의의 open cover $\left\{O_{\alpha } \; | \; \alpha \in I\right\}$에 대하여,

  $D \subset \bigcup_{\alpha \in I}^{} O_{\alpha }, \; D \subset K $이므로 $K \subset \bigcup_{\alpha \in I}^{} O_{\alpha } \cup D^{c}$ 이다.

 

  이때 $D$ closed set이므로 $D^{c}$ open set이다.

  즉, $\bigcup_{\alpha \in I}^{} O_{\alpha } \cup D^{c}$는 $K$의 open cover이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $K \subset \bigcup_{n=1}^{N} O_{\alpha_{n} } \cup D^{c}, \; \alpha_{n} \in I$

  를 만족한다.

  $D \subset K$에 의해 $D \subset \bigcup_{n=1}^{N} O_{\alpha } \cup D^{c}$이므로 $D \subset \bigcup_{n=1}^{N} O_{\alpha } $

  $\therefore$  $D$ compact set

 

 

 

이제 하이네-보렐 정리가 무엇인지 감이 왔을 수도 있다.

 

정리3 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)

실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합 $K$가 compact set일 필요충분조건은 유계인 폐집합이다. 즉,

$K$ compact set  $\Leftrightarrow $  $K$ bdd & closed set

 

증명은 위 2가지 정리를 조합하면 쉽게 얻을 수 있으므로 생략하도록 하겠다.