폐포(closure)

 

$\bar{E}=E\cup E'$ 를 집합$E$의 폐포(closure)라 한다.

 

이때 폐포와 닫힌집합사이의 중요한 정리 하나가 있다.

 

정리1

$F$ closed set  $\Leftrightarrow $  $F=\bar{F}$

 

증명

$F=\bar{F}=F\cup F'$이고 $F=F\cup F'$  $\Leftrightarrow $  $F'\subset F$이므로 

$F$ closed set   $\Leftrightarrow $  $F'\subset F$를 증명하면 된다.

 

$\Rightarrow)$

  closed set의 정의에 의해 $F^{C}$는 open set이므로 임의의 $x\in F^{C}$에 대하여, 적당한 $ \varepsilon > 0 $이 존재하여 

  $N(x,\varepsilon )\subset F^{C}$

  를 만족한다.

  $\therefore$  $N(x,\varepsilon ) \cap F= \varnothing$  $\Rightarrow $  $N(x,\varepsilon ) \cap F \setminus \left\{x \right\} = \varnothing$

  $\therefore x \notin F'$   (i.e.  $x \notin F$  $\Rightarrow$  $x \notin F'$)

  위의 대우에 의하여 $x\in F'$  $\Rightarrow $  $ x\in F$이다.

  $\therefore$  $F' \subset F$

 

$\Leftarrow)$

  임의의 $x \in F^{C}$에 대하여,

  $F'\subset F$이므로 $x \notin F'$

  $\therefore$  $\exists \varepsilon > 0 \; s.t. \; N(x,\varepsilon ) \cap F \setminus \left\{x \right\} = \varnothing$

 

  이때  $x\in F^{C}$이므로 $F \setminus \left\{x \right\} = F$이다.

  $\therefore$  $N(x,\varepsilon ) \cap F= \varnothing$  $\Rightarrow $  $N(x,\varepsilon )\subset F^{C}$ 

  $\therefore$  $F$ closed set 

 

 

 

이후 증명에 쓰일 정리 2개를 알아보자.

 

정리2

두 집합 $A, B \subset \mathbb{R} $에 대하여, $A \subset B $이면 $\overline{A} \subset \overline{B}$이다.

 

  $x \in \overline{A} = A \cup A'$이면 두가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

  Case 1 : $x \in A$

  $A \subset B $이므로 $x \in B$이다.

  $\therefore \; x \in \overline{B}$

 

  Case 2 : $x \in A'$

  $x$가 $A$의 집적점이므로 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여,

  $N(x, \varepsilon ) \cap A \setminus \left\{x \right\} \neq \varnothing $

  을 만족한다.

  $A \subset B $이므로 $N(x, \varepsilon ) \cap A \setminus \left\{x \right\} \subset N(x, \varepsilon ) \cap B \setminus \left\{x \right\} \neq \varnothing$이다.

  $\therefore \; x \in B'$

  $\therefore \; x \in \overline{B}$

 

 

 

정리3

위로 유계인 집합 $S \subset \mathbb{R}$의 상한을 $\alpha$라 하면 $\alpha \in \overline{S}$이다. 특히, $S$가 폐집합이면 $\alpha \in S$이다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  $\alpha$가 $S$의 상한이므로 적당한 $x \in S$가 존재하여

  $x \in N(\alpha, \varepsilon) \cap S$

  를 만족한다.

  이때 2가지 경우를 생각할 수 있다.

 

  Case 1 : $x = \alpha$

  $x \in N(\alpha, \varepsilon) \cap S$이므로 $x \in S$이다. 즉, $\alpha \in S$이다.

  $\therefore$  $\alpha \in \overline{S}$

 

  Case 2 : $x \neq \alpha$

  $x \neq \alpha$이므로 $x \in N(\alpha, \varepsilon) \cap S \setminus \left\{\alpha \right\} $이다.

  $\therefore$  $N(\alpha, \varepsilon) \cap S \setminus \left\{\alpha \right\} = \varnothing $이므로 $\alpha \in S'$이다.

  $\therefore$  $\alpha \in \overline{S}$