$\mathrm{R}^{n}$에서 $\mathrm{R}^{m}$으로의 행렬변환

 

정의1

$V$와 $W$가 벡터공간이고 $f$가 정의역 $V$와 공역$W$를 갖는 함수라고 할 때, $f$를 $V$에서 $W$로의 변환 또는 $f$는 $V$를 $W$로 사상(map)한다고 하며 다음과 같이 표기한다.

$$f:V \to W$$

여기서, 특히 $V=W$인 경우에 이 변환을 $V$상의 연산자(operator)라 한다.

 

 

 

정의2

$m \times n$행렬 $A$에 대하여

$$\mathbf{w} = A\mathbf{x}$$

는 $\mathrm{R}^{n}$의 열벡터 $ \mathbf{x}$를 $\mathrm{R}^{m}$의 열벡터 $\mathbf{w}$로 사상하는 것으로, 즉 변환으로 볼 것이다. 이것을 행렬변환(matrix transformation)(또는 $m=n$일 때는 행렬 연산자(matrix operator))이라 하고,  $T_{A}:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{m}$으로 표기한다. 따라서 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$\mathbf{w} = T_{A}(\mathbf{x})$$

행렬변환 $T_{A}$를 $A$에 의한 행렬곱(multiplication by A)이라 하고, 행렬 $A$를 변환에 대한 표준행렬(standard matrix)이라 부른다. 때때로, 간편하게 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

$$\mathbf{x} \xrightarrow[]{T_{A}} \mathbf{w}$$

이를 "$T_{A}$는 $ \mathbf{x}$를 $\mathbf{w}$로 사상한다"라고 읽는다.

 

# $A = [T_{A}]$로 표기하기도 한다.

 

 

 

정리1

모든 행렬 $A$에 대해, 행렬변환  $T_{A}:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{m}$은 $\mathrm{R}^{n}$의 모든 벡터 $ \mathbf{u}$와 $ \mathbf{v}$, 그리고 모든 스칼라 $k$에 대하여 다음과 같은 성질을 갖는다.

1.  $T_{A}(\mathbf{0}) = \mathbf{0}$

2.  $T_{A}(k\mathbf{u}) = kT_{A}(\mathbf{u})$

3.  $T_{A}(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T_{A}(\mathbf{u}) + T_{A}(\mathbf{v})$

4.  $T_{A}(\mathbf{u} - \mathbf{v}) = T_{A}(\mathbf{u}) - T_{A}(\mathbf{v})$

 

# 증명은 행렬의 성질에 의하여 간단히 얻을 수 있으므로 생략

 

 

 

정리2

$T_{A}:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{m}$과 $T_{B}:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{m}$이 행렬변환이고, $\mathrm{R}^{n}$에 있는 모든 벡터 $ \mathbf{x}$에 대하여 $T_{A}(\mathbf{x}) = T_{B}(\mathbf{x})$이면 $A=B$이다.

 

  즉, $R^{n}$에 있는 모든 벡터 $\mathbf{x}$에 대하여

  $A\mathbf{x} = B\mathbf{x}$

  를 뜻한다. 특히, $\mathbf{x}$가 $R^{n}$의 표준기저벡터 $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n}$이라면

  $A \mathbf{e}_{j} = B \mathbf{e}_{j}$     $(j = 1, 2, \cdots, n)$

  이때 $A\mathbf{e}_{j}$는 $A$의 $j$번째 열이고 $B\mathbf{e}_{j}$는 $B$의 $j$번째 열이므로 $A$와 $B$의 대응하는 열은 같다.

 

  $\therefore$  $A=B$

 

 

 

정의3

$T_{A}$을 $\mathrm{R}^{n}$에서 $\mathrm{R}^{k}$로의 행렬변환이라 하고 $T_{B}$을 $\mathrm{R}^{k}$에서 $\mathrm{R}^{m}$으로의 행렬변환이라고 가정하자. $\mathbf{x}$가 $\mathrm{R}^{n}$에 있는 벡터라면 $T_{A}$는 이 벡터를 $\mathrm{R}^{k}$에 있는 벡터 $T_{A}(\mathbf{x})$로 사상하고, 차례로 $T_{B}$는 그 벡터를 $\mathrm{R}^{m}$에 있는 벡터 $T_{B}(T_{A}(\mathbf{x}))$로 사상한다. 이 것을 $T_{A}$와 $T_{B}$의 합성(composition)이라고 하고, 기호로

$$T_{B} \circ T_{A}$$

로 표기한 후 " $T_{B}$ circle $T_{A}$"라고 읽는다. 즉,

$$(T_{B} \circ T_{A})(\mathbf{x}) = T_{B}(T_{A}(\mathbf{x}))$$

이다. 이것은 그 자체로 행렬변환이므로다음과 같은 식으로도 표현할 수 있다.

$$T_{B} \circ T_{A}  = T_{BA}$$

 

 

 

정의4

$T_{A}$가 $\mathrm{R}^{n}$에 있는 서로 다른 벡터를 $\mathrm{R}^{m}$에 있는 서로 다른 벡터로 사상시킬 때, 행렬변환 $T_{A}:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{m}$을 일대일(one-to-one)이라고 한다.

 

 

 

정리3

만약 $A$가 $n \times n$ 행렬이고 $T_{A}:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{n}$에 대응하는 행렬 연산자라고 하면, 다음 문장은 동등하다.

$(1)$  $A$가 가역이다.

$(2)$  $T_{A}$의 치역은 $\mathrm{R}^{n}$이다.

$(3)$  $T_{A}$는 일대일이다.

 

  $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)$임을 보임으로써 동등함을 증명한다.

 

  $(1) \Rightarrow (2))$

  $A$가 가역이므로 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 $R^{n}$에 있는 모든 행렬 $\mathbf{b}$에 대하여 해를 갖는다.

  (가역과 동등한 명제들 2편 (6) 참고)

  $\therefore$  $T_{A}$의 치역은 $\mathrm{R}^{n}$이다.

 

  $(2) \Rightarrow (3))$

  즉, $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 $R^{n}$에 있는 모든 행렬 $\mathbf{b}$에 대하여 해를 가진다.

  이는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$가 $R^{n}$에 있는 모든 행렬 $\mathbf{b}$에 대하여 유일해를 가지는 것과 동등하다.

  (가역과 동등한 명제들 2편 (5) 참고)

  $\therefore$  $T_{A}$는 일대일이다.

 

  $(3) \Rightarrow (1))$

  즉, $\mathbf{b}$가 $T_{A}$의 치역에 있는 벡터라면 $R^{n}$에는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$를 만족하는 유일한 벡터 $\mathbf{x}$가 있다.

  $A\mathbf{0} = \mathbf{0}$이므로 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$은 자명해만 존재한다.

  $\therefore$  $A$는 가역

  (가역과 동등한 명제들 1편 (2) 참고)

 

 

 

 

정리4

$T:\mathrm{R}^{n} \to \mathrm{R}^{m}$이 행렬변환일 필요충분조건은, $\mathrm{R}^{n}$에 있는 모든 벡터 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$에 대해 그리고 모든 스칼라 $k$에 대해 다음과 같은 관계가 성립하는 것이다.

 $(\mathrm{i})$  $T(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = T(\mathbf{u}) + T(\mathbf{v})$

$(\mathrm{ii})$  $T(k\mathbf{u}) = kT(\mathbf{u})$

 

  $\Rightarrow)$

  Clear

  $\Leftarrow)$

  $(\mathrm{i})$과 $(\mathrm{ii})$를 만족하면 모든 스칼라 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{r}$과 $R^{n}$에 있는 모든 벡터 $\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \cdots,  \mathbf{u}_{r}$에 대하여

  $T(k_{1}\mathbf{u}_{1} + k_{2}\mathbf{u}_{2} + \cdots + k_{r}\mathbf{u}_{r}) = k_{1}T(\mathbf{u}_{1}) + k_{2}T(\mathbf{u}_{2}) + \cdots + k_{r}T(\mathbf{u}_{r})$

  을 만족한다.

 

  $\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots,  \mathbf{e}_{n} $을 $R^{n}$의 표준기저벡터라 하자. 이때

  $A = \left [T(\mathbf{e}_{1}) \; | \; T(\mathbf{e}_{2}) \; | \; \cdots \; | \; T(\mathbf{e}_{n}) \right ]$

  이라 하면 

  $A\mathbf{x} = x_{1}T(\mathbf{e}_{1}) + x_{2}T(\mathbf{e}_{2}) + \cdots + x_{n}T(\mathbf{e}_{n})$

  이다. 즉,

  $A\mathbf{x} = T(x_{1}\mathbf{e}_{1} + x_{2}\mathbf{e}_{2} + \cdots + x_{n}\mathbf{e}_{n}) = T(\mathbf{x})$

  이다.

 

  $\therefore$  $T$는 행렬변환

 

 

 

정의5

위 정리4의 $(\mathrm{i})$과 $(\mathrm{ii})$를 선형성 조건(linearity conditions)이라고 하며, 이러한 조건을 만족하는 변환을 선형변환(linear transformation)이라고 한다.

 

 

 

따름정리

$\mathrm{R}^{n}$에서 $\mathrm{R}^{m}$으로의 모든 선형변환은 행렬변환이고, 반대로 $\mathrm{R}^{n}$에서 $\mathrm{R}^{m}$으로의 모든 행렬변환은 선형변환이다.