행공간, 열공간, 영공간

 

정의1

$m \times n$ 행렬

$$A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}$$

에 대하여 $A$의 행으로 만들어지는 $\mathrm{R}^{n}$의 벡터

$$\mathbf{r}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \end{bmatrix} $$

$$\mathbf{r}_{2} = \begin{bmatrix} a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \end{bmatrix} $$

$$\vdots$$

$$\mathbf{r}_{m} = \begin{bmatrix} a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

을 $A$의 행벡터(row vectors)라 하고, $A$의 열로 만들어지는 $\mathrm{R}^{m}$의 벡터

$$\mathbf{c}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}, \;\;
\mathbf{c}_{2} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix}, \;\; \cdots, \;\;
\mathbf{c}_{n} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix}$$

을 $A$의 열벡터(column vectors)라 한다.

 

 

 

정의2

$A$가 $m \times n$ 행렬일 때, $A$의 행벡터 $ \mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \cdots, \mathbf{r}_{m}$에 의해 생성되는 $\mathrm{R}^{n}$의 부분공간을 $A$의 행공간(row space)이라 하고, $A$의 열벡터 $\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \cdots, \mathbf{c}_{n}$에 의해 생성되는 $\mathrm{R}^{m}$의 부분공간을 $A$의 열공간(column space)이라 한다. $\mathrm{R}^{n}$의 부분공간인 동차 연립방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $의 해 공간을 $A$의 영공간(null space)이라 한다.

 

 

 

정리1

연립일차방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $가 해를 갖기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{b} $가 $A$의 열공간에 속하는 것이다.

 

  두 행렬 $A, \mathbf{x}$를 각각 $$A = \begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots &  & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} $$

  이라 하자. $A$의 열벡터를 $\mathbf{c}_{1}, \mathbf{c}_{2}, \cdots, \mathbf{c}_{n}$이라 하면

  $A\mathbf{x} = x_{1}\mathbf{c}_{1} + x_{2}\mathbf{c}_{2} + \cdots + x_{n}\mathbf{c}_{n}$

  이다. 따라서 연립일차방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$는

  $x_{1}\mathbf{c}_{1} + x_{2}\mathbf{c}_{2} + \cdots + x_{n}\mathbf{c}_{n} = \mathbf{b}$

  로 표현될 수 있다.

 

  $\therefore$  $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $가 해를 갖기 위한 필요충분조건은 $\mathbf{b} $가 $A$의 열공간에 속하는 것이다.

 

 

 

정리2

$\mathbf{x}_{0}$가 비동차 연립일차방정식 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 어떤 해이고 $S = \begin{Bmatrix} \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2},\cdots ,\mathbf{v}_{k} \end{Bmatrix}$가 $A$의 영공간의 기저라면, $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 모든 해는 다음과 같은 형태로 표현할 수 있다.

$$\mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} +  c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{v}_{k}$$

역으로, 스칼라 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k}$의 모든 값에 대해 이 식의 벡터 $ \mathbf{x}$는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 해이다.

 

$\mathbf{x} = \mathbf{x}_{0} +  c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{v}_{k}$는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 일반해(general solution)이다.

벡터 $ \mathbf{x}_{0}$는 $A\mathbf{x} = \mathbf{b} $의 특수해(particular solution)라 하고,

$c_{1}\mathbf{v}_{1} + c_{2}\mathbf{v}_{2} + \cdots + c_{k}\mathbf{v}_{k}$를 $A\mathbf{x} = \mathbf{0} $의 일반해라 한다.

 

# ($R^{n}$-$R^{n}$에서 직교성과 사영정리편 정리3 참고)

 

 

 

정리3

기본 행연산은 행렬의 영공간을 변경하지 않는다.

 

  기본 행연산에 관련된 기본 행렬을 $E$라 하자. 

 

  Suppose 1 : $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 임의의 해를 $\mathbf{x}_{0}$라 하자.

  양변의 왼쪽에 $E$를 곱하면 $EA\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0}$이다.

  $\therefore$  $\mathbf{x}_{0}$는 $EA$의 영공간에 존재한다.

 

  Suppose 2 : $EA\mathbf{x} = \mathbf{0}$의 임의의 해를 $\mathbf{x}_{0}$라 하자.

  $E$는 가역이므로 양변의 왼쪽에 $E^{-1}$을 곱하면 $A\mathbf{x}_{0} = \mathbf{0}$이다.

  $\therefore$  $\mathbf{x}_{0}$는 $A$의 영공간에 존재한다.

 

 

 

정리4

기본 행연산은 행렬의 행공간을 변경하지 않는다.

 

  행렬 $A$의 기본 행연산을 적용한 행렬 $B$에 대하여 각 행벡터는 $A$의 행벡터의 일차결합으로 표현할 수 있다.

  역으로 $A$도 행렬 $B$의 기본 행연산을 적용한 것이므로

  행렬 $A$의 행벡터는 $B$의 행벡터의 일차결합으로 표현할 수 있다.

  $\therefore$  기본 행연산은 행렬의 행공간을 변경하지 않는다.

  (벡터공간-일차결합과 생성편 정리3 참고)

 

 

 

정리5

행렬 $R$이 행사다리꼴 행렬이면 선도 1(영이 아닌 행벡터)을 갖는 행벡터들은 $R$의 행공간의 기저를 이루고, 행벡터의 선도 1을 갖는 열벡터들은 $R$은 열공간의 기저를 이룬다.

 

# 증명 생략

 

 

 

정리6

$A$와 $B$가 행동등 행렬이라면 다음이 성립한다.

1.  $A$의 주어진 열벡터의 집합이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 $B$의 대응하는 열벡터가 일차독립인 것이다.

2.  $A$의 주어진 열벡터의 집합이 $A$의 열공간의 기저를 이루기 위한 필요충분조건은 $B$의 대응하는 열벡터가 $B$의 열공간의 기저를 이루는 것이다.

# 증명생략