부분공간

 

정의1

벡터공간의 $V$의 부분집합 $W$가 $V$상에서 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈에 대하여 그 자체로서 벡터공간이 될 때 $W$를 $V$의 부분공간(subspace)이라고 한다.

 

# 어떤 공리는 $V$에서 부터 상속(inherited)되기 때문에 $W$에 대해서 증명할 필요가 없다

 

 

 

$W$에 상속되지 않는 공리

공리 1 - 덧셈에 대한 $W$의 닫힘성

공리 4 - $W$ 내에 영벡터의 존재

공리 5 - $W$ 내의 각 벡터에 대한 음이 $W$ 내에 존재

공리 6 - 스칼라 곱셈에 대한 $W$의 닫힘성

 

 

 

정리1

벡터공간 $V$의 공집합이 아닌 부분집합 $W$가 $V$의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 것이다.

 $(\mathrm{i})$  만약 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$가 $W$의 벡터이면 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$도 $W$의 벡터이다.

$(\mathrm{ii})$  $k$가 임의의 스칼라이고 $\mathbf{u}$가 $W$의 벡터이면 $k\mathbf{u}$도 $W$의 벡터이다.

 

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$\Rightarrow)$

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  $\mathbf{u}$를 $W$의 임의의 벡터라 하면 조건 $(\mathrm{ii})$에 의하여 $k \mathbf{u}$는 모든 스칼라 $k$에 대해서 $W$에 포함된다.

  $k = 0$이라 하면 $0\mathbf{u} = \mathbf{0}$은 $W$에 속하고

  $k = -1$이라 하면 $(-1)\mathbf{u} = -\mathbf{u}$는 $W$에 속한다. 

  (벡터공간-벡터공간편 정리1 참고)

  즉, 공리 4와 공리 5가 $W$에서 성립한다.

 

 

 

정리2

$W_{1}, W_{2},\cdots ,W_{r}$이 벡터공간 $V$의 부분공간이면, 이들 부분공간의 교집합 또한 $V$의 부분공간이다.

 

  $W$가 $W_{1}, W_{2},\cdots ,W_{r}$의 교집합이라 하자. 각 부분공간은 $V$의 영벡터를 포함하기 때문에

  $W$는 공집합이 아니다.

 

  Show 1 : 공리 1 - 덧셈에 대한 닫힘성

  $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$를 $W$내의 벡터라 하자.

  $W$가 부분공간들의 교집합이므로 $\mathbf{u}$와 $\mathbf{v}$는 또한 이들 부분공간 내에 있다.

  이들 부분공간은 모두 덧셈에 대해 닫혀 있으므로 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$를 포함하고 따라서 $\mathbf{u} + \mathbf{v}$는 교집합 $W$에 포함된다.

 

  Show 2 : 공리 6 - 스칼라 곱셈에 대한 닫힘성

  # 위와 비슷한 방법으로 증명하면 된다.