역행렬

 

정의1

만약 $A$가 정방행렬이고 $AB=BA=I$를 만족하는 같은 크기의 $B$가 존재한다면 $A$는 가역(invertible), 또는 정칙(nonsingular)이라고 하고 $B$를 $A$의 역행렬(inverse)이라고 한다. 만약 그와 같은 행렬 $B$가 존재하지 않으면 $A$는 특이행렬(singular)이라고 한다.

 

 

 

정리1

$B$와 $C$가 모두 $A$의 역행렬이면 $B=C$이다.

 

  $B$는 $A$의 역행렬이므로 $BA=I$이다. 양쪽의 오른쪽에 $C$를 곱하면 $(BA)C=IC=C$이다.

  이때 $(BA)C=B(AC)=BI=B$이므로 $C=B$이다.

 

 

 

정리2

만약 행렬 $A$와 $B$가 같은 크기의 가역 행렬이면 $AB$는 가역이고 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다.

 

  $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$이고

  같은 방법으로 $(B^{-1}A^{-1})(AB) = I$이다.

  따라서 $AB$는 가역이고 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$이다.

 

 

 

따름정리

어떠한 가역 행렬들의 곱도 가역이며 그 곱의 역행렬은 각각의 역행렬을 역순으로 곱하여 얻을 수 있다.

 

 

 

정의2

$A$가 정방행렬이면 $A$의 음이 아닌 정수에 대한 거듭제급은 다음과 같이 정의한다.

$A^{0} = I, \; A^{n} = AA\cdots A$     [$n$개의 곱]

$A$가 가역이면 $A$의 음의 정수에 대한 거듭제곱도 다음과 같이 정의한다.

$A^{-n} = (A^{-1})^{n} = A^{-1}A^{-1}\cdots A^{-1}$     [$n$개의 곱]

 

 

 

정리3

행렬 $A$가 가역이고 $n$이 음이 아닌 정수라 하자.

1.  $A^{-1}$도 가역이고 $(A^{-1})^{-1} = A$이다.

2.  $A^{n}$도 가역이고 $(A^{n})^{-1} = A^{-n} = (A^{-1})^{n}$이다.

3.  임의의 0이 아닌 스칼라 $k$에 대해서 $kA$도 가역이고 $(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$이다.

 

pf)

  $A^{-1}A = AA^{-1} = I$이다. 따라서 $A^{-1}$도 가역이고 $(A^{-1})^{-1} = A$

 

  $A^{n}A^{-n} = AA \cdots A A^{-1}A^{-1} \cdots A^{-1} = I$이고

  같은 방법으로 $A^{-n}A^{n} = I$이다.

  따라서 $A^{n}$도 가역이고 $(A^{n})^{-1} = A^{-n} = (A^{-1})^{n}$이다.

 

  $(kA)(k^{-1}A^{-1}) = k^{-1}(kA)A^{-1} = (k^{-1}k)AA^{-1} = (1)I = I$이고

  같은 방법으로 $(k^{-1}A^{-1})(kA) = I$이다.
  따라서 $kA$도 가역이고 $(kA)^{-1} = k^{-1}A^{-1}$이다. $\qquad \blacksquare $

 

 

 

정리4

$A$가 가역이면 $A^{T}$도 가역이고 $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$이다.

 

  $A^{T}(A^{-1})^{T} = (A^{-1}A)^{T} = I^{T} = I$이고

  같은 방법으로 $(A^{-1})^{T}A^{T} = I$이다.

  따라서 $A^{T}$도 가역이고 $(A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}$이다. $\qquad \blacksquare $