여인수 전개에 의한 행렬식 정의

 

정의1

$2 \times 2$ 행렬 $A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}$에 대하여 식 $ad - bc$를 행렬 $A$의 행렬식(determinant)이라 한다.

 

 

 

정의2

$A$가 정방행렬일 때, 원소 $a_{ij}$의 소행렬식(minor)은 기호로 $M_{ij}$로 나타내고 행렬 $A$의 $i$번째 행과 $j$번째 열을 제거하여 만든 부분행렬의 행렬식으로 정의된다. 수 $(-1)^{i+j}M_{ij}$를 기호 $C_{ij}$로 나타내고 원소 $a_{ij}$의 여인수(cofactor)라 부른다.

 

 

 

정의3

$A$가 $n \times n$ 행렬일 때, $A$의 임의의 한 행 또는 열에 있는 각 원소의 대응하는 여인수의 곱을 모두 합하여 얻은 수를 $A$의 행렬식(determinant of A)이라 한다. 이때 합 자체는 $A$의 여인수 전개(cofactor expansion)라고 불린다. 즉,

$\det(A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} $

[제 $j$열에 의한 여인수 전개]

$\det(A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \cdots + a_{in}C_{in} $

[제 $i$행에 의한 여인수 전개]

 

 

 

정리1

$n \times n$ 행렬 $A$의 여떤 행 또는 열을 선택하는가와 상관없이, 선택된 행 또는 열에 있는 각 원소와 대응하는 여인수의 곱을 모두 더하여 얻은 수는 항상 같다.

 

# 증명생략

 

 

 

정리2

$A$가 $n \times n$ 삼각행렬(상삼각, 하삼각, 또는 대각)이면, $\det(A)$는 행렬의 주대각선상의 원소들의 곱이다.

 

# $\det(I) = 1$

# 계산해보면 쉽게 얻을 수 있다.