평등연속함수의 특징

 

정리1

$E$가 실수의 집합 $\mathbb{R} $의 유계인 부분집합일 때, 함수 $f : E \to \mathbb{R} $가 평등연속이면 치역 $f(E)$는 유계이다.

 

  임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.

  $f$가 $E$ 위에서 평등연속이므로 적당한 $\delta(\varepsilon ) > 0$가 존재하여

  $\left|x - y \right| < \delta, \; x,y \in E \Rightarrow \left|f(x) -f(y) \right| < \varepsilon $

  을 만족한다.

  $E$가 유계이므로 적당한 $a,b \in \mathbb{R}$가 존재하여

  $E \subset [a, b]$

  를 만족한다.

  $\delta > 0$이므로 아르키메데스의 원리에 의해 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $\frac{b-a}{N} < \delta $

  를 만족한다.

 

  $E_{i} = [a + \frac{b-a}{N}(i-1), a + \frac{b-a}{N}i ]$  ($i=1,2, \cdots ,N$)라 하자.

  만약 $E \cap E_{i} \neq \varnothing $일시 $E \cap E_{i}$의 한 원소를 $x_{i}$라 하자.

 

  이때 $C = \left\{i \;\; | \;\; \exists x_{i} \right\}$이라 하면 (즉, $E \cap E_{i} \neq \varnothing $인 번호의 집합) $C \neq \varnothing $이다.

  ( $\because$  $E \subset [a, b]$이므로 모든 $i=1,2, \cdots ,N$에 대하여 $E \cap E_{i} = \varnothing $일 수 없다.)

  $M = \mathrm{max} \left\{ \left|f(x_{i }) \right| + \varepsilon \;\; | \;\; i \in C \right\} $라 하자.

 

  임의의 $x \in E$를 택하자.

  $E \subset [a, b]$이므로 적당한 $\beta \in C$가 존재하여

  $x \in E_{\beta }$

  를 만족한다.

  이때 $x, x_{\beta } \in E_{\beta }$이고 $E_{i}$의 구간의 길이 $\left|E_{i} \right| = \frac{b-a}{N} < \delta $이므로 $\left|x - x_{\beta } \right| < \delta $이다.

  $\therefore$  $\left|f(x) - f(x_{\beta }) \right| < \varepsilon $

  이때 $\left|f(x) \right| - \left|f(x_{\beta }) \right| \leq \left|f(x) - f(x_{\beta }) \right|$이다.

  $\therefore$  $\left|f(x) \right| < \left|f(x_{\beta }) \right| + \varepsilon \leq M $

  $\therefore$  $f(E)$ bdd

 

 

 

정리2

$E$가 실수의 집합 $\mathbb{R} $의 부분집합이고, 함수 $f : E \to \mathbb{R} $가 평등연속이라고 하자. $\left<x_{n} \right>$이 $E$에서의 임의의 코시 수열이면, 수열 $\left<x_{n} \right>$에 대응한 수열 $\left<f(x_{n}) \right>$도 코시 수열이다.

 

  임의의 $\varepsilon >0$을 택하자.

  $f$가 $E$ 위에서 평등연속이므로 $\delta(\varepsilon ) > 0$가 존재하여

  $\left|x - y \right| < \delta, \; x,y \in E \Rightarrow \left|f(x) -f(y) \right| < \varepsilon $

  을 만족한다.

  수열 $\left<x_{n} \right>$이 코시 수열이므로 적당한 $\exists N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $n, m \geq N \Rightarrow \left|x_{n} - x_{m} \right| < \delta $

  를 만족한다.

  이때 조건에 의하여 $x_{n}, x_{m} \in E $이다.

  $\therefore$  $n, m \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|f(x_{n}) - f(x_{m}) \right| < \varepsilon  $

  $\therefore$  $\left<f(x_{n}) \right>$ Cauchy sequence 

 

 

 

정리3

 $f : (a,b] \to \mathbb{R} $가 평등연속이라고 하면 $\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$가 존재한다.

 

  점 $a$가 $(a,b] $의 집적점이므로 $a$로 수렴하는 $E$에서의 수열이 존재한다.

  그러한 임의의 두 수열을 $\left<x_{n} \right>, \left<y_{n} \right>$이라 하자. $f$가 평등연속이고 수열 $\left<x_{n} \right>, \left<y_{n} \right> $은 코시 수열이므로

  위의 정리2에 의해 $\left<f(x_{n}) \right>, \left<f(y_{n}) \right> $은 코시 수열이다.

  $\therefore$  $\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty }f(x_{n}), \displaystyle \lim_{n \to \infty }f(y_{n}) $

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f(x_{n}) = A, \displaystyle \lim_{n \to \infty }f(y_{n}) = B $라 하자.

 

  이때 $\left\{z_{n} \right\} = \left\{x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, \cdots  \right\}$이라 하자. 즉, $$z_{n} = \begin{cases}
x_{\frac{n+1}{2}} \; & \text{ if } \; n= \text{odd} \\
y_{\frac{n}{2}} \; & \text{ if } \; n= \text{even}  
\end{cases} $$

  수열 $\left<z_{n} \right>$은 명백히 $a$에 수렴하므로 위의 정리2에 의해 $\left<f(z_{n}) \right> $은 코시 수열이다.

  $\therefore$  $\exists \displaystyle \lim_{n \to \infty }f(z_{n}) $

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }f(z_{n}) = C $라 하자.

  수열 $\left<x_{n} \right>, \left<y_{n} \right> $은 $\left<z_{n} \right>$의 부분수열이므로 $C =A, C = B$이다.

  (수열-수렴하는 수열의 특징편 정리6 참고)

  $\therefore$  $A = B$

 

  즉, $t_{n} \in (a,b], \; \displaystyle \lim_{n \to \infty }t_{n} = a$을 만족하는 임의의 수열 $\left<t_{n} \right>$에 대하여   $\displaystyle \lim_{n \to \infty } F(t_{n}) = A$이므로 

  $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = A$

  (연속-극한과 동치인 명제들편 정리1 참고)

  $\therefore$  $\exists \displaystyle \lim_{x \to a}f(x) $