함수의 평등연속(uniformly continuous of function)

 

정의1

$E$가 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이고 함수 $f : E \to \mathbb{R}$이 명제

$\forall \varepsilon >0, \; \exists \delta(\varepsilon ) > 0 \;\; s.t. \;\; (\left|x - y \right| < \delta, \; x,y \in E \Rightarrow \left|f(x) -f(y) \right| < \varepsilon )$

를 만족하면, $f$는 $E$ 위에서 평등연속(uniformly continuous on E)이라고 한다. 이때 $f$는 $E$ 위에서 정의된 평등연속함수(uniformly contionuous function defined on E)이다. 또는 함수 $f : E \to \mathbb{R}$는 평등연속이라고 말한다.

 

# 평등 연속은 집합에 관한 연속 개념이다.

 

 

 

평등연속의 부정

$E$가 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이고 함수 $f : E \to \mathbb{R}$이 명제

$\exists \varepsilon_{0} >0, \; \forall \delta > 0, \; \exists x(\delta ), y(\delta ) \in E  \;\; s.t. \;\; (\left|x - y \right| < \delta, \; \left|f(x) -f(y) \right| \geq \varepsilon_{0} )$

를 만족하면 $f$는 $E$ 위에서 평등연속이 아니다.

 

즉, 임의의 $\delta > 0$에 대하여 적당한 $x(\delta ), y(\delta ) \in E$가 존재하여

$\left|x - y \right| < \delta, \; \left|f(x) -f(y) \right| \geq \varepsilon_{0} $

를 만족하는 적당한 $\varepsilon_{0} >0$가 존재하면 $f$는 $E$ 위에서 평등연속이 아니다.