극한과 동치인 명제들

 

정리1

$E$을 실수의 집합 $\mathbb{R}$의 부분집합이라 하고 실수 $c$를 $E$의 집적점이라고 하자. 함수 $f : E \to R$의 실수 $L$에 대하여 다음이 성립한다.

$ \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$

$\Leftrightarrow$  $ x_{n} \in E, \; x_{n} \neq c, \; \displaystyle \lim_{n \to \infty} x_{n} = c $를 만족하는 임의의 수열 $\left<x_{n} \right> $에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = L$이다.

 

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$\Rightarrow)$

  $x_{n} \in E, \; x_{n} \neq c, \; \displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c$을 만족하는 임의의 수열 $\left<x_{n} \right>$에 대하여

  임의의 $\varepsilon > 0 $을 택하자.

  $ \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이므로 적당한 $\delta > 0$가 존재하여

  $0 < \left|x-c \right| < \delta, \; x \in E$  $\Rightarrow$  $\left|f(x)-L \right| <  \varepsilon $

  을 만족한다.

  $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c$이므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $n \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|x_{n} - c \right| < \delta $

  를 만족한다.

  이때 $ x_{n} \in E, \; x_{n} \neq a$이다.

  $\therefore$  $n \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|f(x_{n}) - L \right| < \varepsilon $

  $\therefore$  $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = L$

 

$\Leftarrow)$

  Suppose 1 : $ \displaystyle \lim_{x \to c} f(x) \neq L$

  따라서

  $\forall \delta > 0, \; \exists x_{\delta } \in E \;\; s.t. \;\; (0 < \left|x_{\delta }-c \right| < \delta, \; \left|f(x_{\delta })-L \right|  \geq \varepsilon_{0} )$

  을 만족하는 적당한 $\varepsilon_{0} > 0$가 존재한다.

  이때 각 자연수 $n$에 대하여 $\delta = \frac{1}{n}$이라 하면 적당한 $x_{n} \in E$이 존재하여

  $0 < \left|x_{n } - c \right| < \delta, \; \left|f(x_{n })-L \right|  \geq \varepsilon_{0} $

  를 만족한다.

  이때 수열 $\left<x_{n} \right>$에 대하여 명백히 $\displaystyle \lim_{n \to \infty }x_{n} = c$이고 $x_{n} \neq c$이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } f(x_{n}) = L$이다.

  $\therefore$  $\exists N \in \mathbb{N} \;\; s.t. \;\; (n \geq N \Rightarrow \left|f(x_{n}) - L \right| < \varepsilon_{0} )$

  Contradiction