정리1
주기가 $2\pi$인 함수 $f$가 미분가능하며 $f'$이 $[-\pi, \pi]$에서 적분가능하면 $S_{n}(f)$는 $f$에 평등수렴한다.
Claim 1 : $\sum_{n=1}^{\infty} \left|a_{n} \right| + \left|b_{n} \right|$ 수렴
$f'$이 적분가능하므로 $f'$의 Fourier 계수는
$a_{n}' = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \mathrm{cos}nx \; dx$
$=\frac{1}{\pi}([f(x)\mathrm{cos}nx]_{-\pi}^{\pi} + n \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\mathrm{sin}nx \; dx) = nb_{n}$
이고 같은 방법으로 $b_{n}' = na_{n}$이다.
Cauchy-Schwarz 부등식에 의해
$\sum_{k=1}^{n} \left|a_{k} \right| = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \left|b_{k}' \right| \leq (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}})^{\frac{1}{2}} (\sum_{k=1}^{n} (b_{k}')^{2})^{\frac{1}{2}}$
를 만족한다.
이때 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty$, $\sum_{n=1}^{\infty} (b_{n}')^{2} < \infty$이므로
$\sum_{n=1}^{\infty} \left|a_{n} \right| < \infty$이다. 같은 방법으로 $\sum_{n=1}^{\infty} \left|b_{n} \right| < \infty$
이때 $\sum_{n=1}^{\infty} \left|a_{n}\mathrm{cos}nx + b_{n}\mathrm{sin}nx \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left|a_{n} \right| + \left|b_{n} \right|$이고
$S_{n}(f)(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_{k}\mathrm{cos}kx + b_{k}\mathrm{sin}kx) \to f(x)$이다.
(급수-급수의 수렴판정법편 바이어슈트라스 M-판정법 참고)
$\therefore$ $S_{n}(f) \rightrightarrows f$
정리2
주기가 $2\pi$이고 연속인 함수 $f$에 대하여
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{n}(f)(x))^{2} dx = 0$
임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.
함수 $f$가 폐구간 $[-\pi, \pi]$에서 연속이므로 이 구간에서 평등연속이다. 즉, 적당한 $\delta > 0$가 존재하여
$\left|x - y \right| < \delta$ $\Rightarrow$ $\left|f(x) - f(y) \right| < \sqrt{\frac{\varepsilon}{8\pi}}$
를 만족한다.
이때 $[-\pi, \pi]$를 소구간의 길이가 모두 $\delta$ 보다 작도록 등분하여 등분점을 차례로 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}$이라 하자.즉,
$\left|f(x_{k - 1}) - f(x_{k}) \right| < \sqrt{\frac{\varepsilon}{8\pi}}$ $(k = 1, 2, \cdots, n)$
함수 $y = f(x)$의 그래프 위의 점 $(x_{k-1}, f(x_{k-1}))$과 $(x_{k}, f(x_{k}))$를 차례로 선분으로 잇자.
이들 꺾은선을 그래프로 가지는 함수를 $g(x)$라 하자.
그러면 $g(x)$는 유한개의 점을 제외한 모든 점에서 미분가능하고
미분불가능한 점 $x = x_{k}$에서는 좌우측 미분계수가 모두 존재한다.
또한 개구간 $(x_{k-1}, x_{k})$에서 $g'(x)$는 상수함수이며 $g'(x)$는 적분가능하다.
$g(x+2\pi) = g(x)$이도록 함수 $g(x)$를 확장시키자.
위의 정리1에 의해 $g(x)$는 $S_{n}(g)(x)$에 평등수렴하므로 적당한 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여
$n \geq N$ $\Rightarrow$ $\left|g(x) - S_{n}(g)(x) \right| < \sqrt{\frac{\varepsilon}{8\pi}}$
를 만족한다.
임의의 구간 $[x_{k-1}, x_{k}]$에서 임의의 $x \in [x_{k-1}, x_{k}]$에 대하여 중간값 정리에 의하여
$f(t_{x}) = g(x)$인 $t_{x} \in [x_{k-1}, x_{k}]$가 존재한다. 즉, $x - t_{x} \leq x_{k} - x_{k-1} < \delta$이므로
$\left|f(x) - g(x) \right| = \left|f(x) - f(t_{x}) \right| < \sqrt{\frac{\varepsilon}{8\pi}}$
모든 $x$에 대하여
$\left|f(x) - S_{N}(g)(x) \right|^{2}$
$= \left|f(x) - g(x) \right|^{2} + 2\left|f(x) - g(x) \right| \cdot \left|g(x) - S_{N}(g)(x) \right| + \left|g(x) - S_{N}(g)(x) \right|^{2} < \frac{\varepsilon}{2\pi}$
$\therefore$ $ \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{N}(g)(x))^{2} dx < \varepsilon$
정리 푸리에 급수-베셀의 부등식과 점별수렴편 정리1에 의하여
$\int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{N}(f)(x))^{2} dx \leq \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{N}(g)(x))^{2} dx $
를 만족한다.
또한
$\int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{n}(f)(x))^{2} dx = \int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^{2} dx - \pi (\frac{a{_{0}}^{2}}{2} + \sum_{k=1}^{n}a{_{k}}^{2} + b{_{k}}^{2})$
이므로 $n \geq N$인 모든 $n$에 대하여
$\int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{n}(f)(x))^{2} dx \leq \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{N}(f)(x))^{2} dx < \varepsilon$
$\therefore$ $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x) -S_{n}(f)(x))^{2} dx = 0$
정리3 파스발의 등식
$[-\pi, \pi]$에서 연속이고 주기가 $2\pi$인 $f$의 Fourier 계수에 대하여
$\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^{2} dx = \frac{a{_{0}}^{2}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a{_{n}}^{2} + b{_{n}}^{2})$
# $\left\|f(x) \right\|^{2} = (f, \frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + \sum_{n=1}^{\infty} ( (f, \mathrm{cos}nx)^{2} + (f, \mathrm{sin}nx)^{2} )$
$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (S_{n}(f)(x) - f(x))^{2} dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x))^{2} dx - \frac{a{_{0}}^{2}}{2} - \sum_{k=1}^{n}(a{_{k}}^{2} + b{_{k}}^{2}) $
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