푸리에 급수와 정규직교계

 

정의1

$f \in \mathcal{R}[-\pi, \pi]$에 대하여,

$a_{n} = \frac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi } f(x)\mathrm{cos}nx \; dx$      $(n = 0, 1, 2, \cdots)$

$b_{n} = \frac{1}{\pi } \int_{-\pi }^{\pi } f(x)\mathrm{sin}nx \; dx$           $(n = 1, 2, \cdots)$

를 함수 $f$의 Fourier 계수라 하고

$f(x) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_{n}\mathrm{cos}nx + b_{n}\mathrm{sin}nx]$

를 함수 $f$의 Fourier 급수라 한다.

 

 

 

$PC(2\pi)$를 $[-\pi, \pi]$에서 연속이고 주기가 $2\pi$인 주기함수라고 하자.

1. $PC(2\pi)$는 벡터공간이다.

2. 또한 내적을 다음과 같이 정의하면 $PC(2\pi)$는 내적공간이다.

$(f, g) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx$

3. $\left\{\frac{1}{\sqrt{2}}, \mathrm{cos}x, \mathrm{cos}2x, \cdots, \mathrm{sin}x, \mathrm{sin}2x, \cdots \right\} $는 $PC(2\pi)$에서 정규직교계를 이룬다.

 

 

 

$f(x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_{n}\mathrm{cos}nx + b_{n}\mathrm{sin}nx)$

가 성립한다고 가정하면 (평등수렴까지 성립한다고 가정)

 

1. $(f(x), \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{a_{0}}{\sqrt{2}}$

2. $(f(x), \mathrm{cos}kx) = a_{k} $

3. $(f(x), \mathrm{sin}kx) = b_{k} $

 

$\therefore$  $f(x) = (f, \frac{1}{\sqrt{2}}) \frac{1}{\sqrt{2}} + \sum_{n=1}^{\infty} ( (f, \mathrm{cos}nx) \mathrm{cos}nx + (f, \mathrm{sin}nx) \mathrm{sin}nx)$

 

 

 

정의2

$ \frac{1}{\sqrt{2}}, \mathrm{cos}x, \mathrm{cos}2x, \cdots, \mathrm{sin}x, \mathrm{sin}2x, \cdots$이들 원소들의 유한 일차결합

$T_{n}(x) = \frac{A_{0}}{2} + \sum_{k=1}^{n} (A_{k}\mathrm{cos}kx + B_{k}\mathrm{sin}kx)$

을 $n$차 삼각다항식이라 한다.