러셀의 역리

 

보조정리1

모든 집합을 모아 놓은 집합(family) $\mathcal{U}$가 존재한다하자.

$R = \left\{S \in \mathcal{U} \; | \; S \notin S \right\}$로 놓으면 $R \notin R$

 

$R \in R$이라고 가정하면 $R$의 정의에 의해 $R \notin R$

Contradiction

$\therefore$  $R \notin R$

 

 

 

보조정리2

모든 집합을 모아 놓은 집합(family) $\mathcal{U}$가 존재한다하자.

$R = \left\{S \in \mathcal{U} \; | \; S \notin S \right\}$로 놓으면 $R \in R$

 

$R \notin R$이라고 가정하면 $R$의 정의에 의해 $R \in R$

Contradiction

$\therefore$  $R \in R$

 

 

 

즉, 보조정리1, 2에 의하여 다음 정리가 성립한다.

 

정리1

모든 집합을 모아 놓은 집합(family) $\mathcal{U}$는 존재하지 않는다.