첨수집합족

 

정의1

원소가 집합인 것의 모임을 집합족(family of set , collection of sets)이라 한다.

 

 

 

정의2

집합 $\Gamma$의 각 $\gamma \in \Gamma$에 집합 $A_{\gamma}$가 대응할 때

$\gamma, \; \Gamma, \; \left\{A_{\gamma} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\}$

를 차례로 첨수(index), 첨수집합(index set), 첨수집합족(indexed family of sets)이라고 한다.

 

 

 

정의3

임의의 족 $\mathcal{F}$에 대하여 그것에 속하는 집합의 합집합을 $\bigcup_{A \in \mathcal{F}}^{} A$ 또는 $\bigcup \mathcal{F}$로 나타낸다. 즉,

$$\bigcup_{A \in \mathcal{F}}^{} A = \left\{x \in U \; | \; \exists A \in \mathcal{F}, \; x \in A \right\}$$

(족 $\mathcal{F}$에 속하는 모든 집합의 합집합을 뜻한다.)

특히 $\mathcal{F}$가 첨수집합족일 때에는 다음과 같이 나타낸다.

$$\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma} = \left\{x \in U \; | \; \exists \gamma \in \Gamma, \; x \in A_{\gamma} \right\}$$

또한 첨수집합 $\Gamma$가 유한집합 $\Gamma = \left\{1, 2, 3, \cdots, n \right\}$인 경우 다음과 같이 나타내기도 한다.

$$\bigcup_{i=1}^{n} A_{i}$$

 

 

 

정의4

임의의 족 $\mathcal{F}$에 대하여 그것에 속하는 집합의 합집합을 $\bigcap_{A \in \mathcal{F}}^{} A$ 또는 $\bigcap \mathcal{F}$로 나타낸다. 즉,

$$\bigcap_{A \in \mathcal{F}}^{} A = \left\{x \in U \; | \; \forall A \in \mathcal{F}, \; x \in A \right\}$$

(족 $\mathcal{F}$에 속하는 모든 집합의 합집합을 뜻한다.)

특히 $\mathcal{F}$가 첨수집합족일 때에는 다음과 같이 나타낸다.

$$\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma} = \left\{x \in U \; | \; \forall \gamma \in \Gamma, \; x \in A_{\gamma} \right\}$$

또한 첨수집합 $\Gamma$가 유한집합 $\Gamma = \left\{1, 2, 3, \cdots, n \right\}$인 경우 다음과 같이 나타내기도 한다.

$$\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}$$

 

 

 

정리1

첨수집합족 $\left\{ A_{r} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\}$에 대하여 $\Gamma = \varnothing$이면 다음이 성립한다.

1. $\bigcup_{\gamma \in \varnothing}^{} A_{\gamma} = \varnothing$

2. $\bigcap_{\gamma \in \varnothing}^{} A_{\gamma} = U$

 

pf)

  모든 $x \in U$에 대하여 $x \notin \bigcup_{\gamma \in \varnothing}^{} A_{\gamma}$임을 밝히면 충분하다.

  $x \notin \bigcup_{\gamma \in \varnothing}^{} A_{\gamma} \equiv \; \sim (x \in \bigcup_{\gamma \in \varnothing}^{}   A_{\gamma})$

                         $\equiv$ $\sim$ (적당한 $\gamma \in \Gamma$에 대하여 $x \in A_{\gamma}$)

                         $\equiv$ (모든 $\gamma \in \varnothing$에 대하여 $x \notin A_{\gamma}$)

                               $\equiv$ $(\gamma \in \varnothing \rightarrow x \notin A_{\gamma})$

 

  $ \gamma \in \varnothing$는 공집합의 정의에 따른 $ \gamma \notin \varnothing$에 모순이다. 따라서 $(\gamma \in \varnothing \rightarrow x \notin A_{\gamma})$는 참이다.

  (항진, 함의, 동치, 모순 정리7 - 3 참고) 

 

  모든 $x \in U$에 대하여 $x \in \bigcap_{\gamma \in \varnothing}^{} A_{\gamma}$임을 밝히면 충분하다.

  $x \in \bigcap_{\gamma \in \varnothing}^{} A_{\gamma} \equiv$ (모든 $\gamma \in \varnothing$에 대하여 $x \in A_{\gamma}$)

                                 $\equiv$ $(\gamma \in \varnothing \rightarrow x \in A_{\gamma})$

 

  위와 같은 원리로 $(\gamma \in \varnothing \rightarrow x \notin A_{\gamma})$는 참이다.

 

 

 

정리2 드 모르간의 정리

임의의 첨수집합족 $\left\{ A_{r} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\}$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $(\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})^{C} = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A{_{\gamma}}^{C}$

2. $(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})^{C} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A{_{\gamma}}^{C}$

 

pf)

  $x \in (\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})^{C} \equiv$ $\sim (\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})$

                                        $\equiv$ $\sim (\exists \gamma \in \Gamma, \; x \in A_{\gamma})$

                                        $\equiv$ $\forall \gamma \in \Gamma, \; x \in A{_{\gamma}}^{C}$

                                        $\equiv$ $x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A{_{\gamma}}^{C}$

  $\therefore$  $(\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})^{C} = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A{_{\gamma}}^{C}$

 

  $x \in (\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})^{C} \equiv$ $\sim (\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})$

                                        $\equiv$ $\sim (\forall \gamma \in \Gamma, \; x \in A_{\gamma})$

                                        $\equiv$ $\exists \gamma \in \Gamma, \; x \in A{_{\gamma}}^{C}$

                                        $\equiv$ $x \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A{_{\gamma}}^{C}$

  $\therefore$  $(\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} A_{\gamma})^{C} = \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} A{_{\gamma}}^{C}$

 

 

 

정리3 분배법칙

집합 $A$와 임의의 첨수집합족 $\left\{ B_{r} \; | \; \gamma \in \Gamma \right\}$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $A \cap (\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} (A \cap B_{\gamma})$

2. $A \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} (A \cup B_{\gamma})$

 

pf)

  $x \in A \cap (\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma})$

  $\Leftrightarrow$  $x \in A \wedge x \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}$

  $\Leftrightarrow$  $x \in A \wedge \exists \gamma \in \Gamma \; x \in B_{\gamma}$

  $\Leftrightarrow$  $\exists \gamma \in \Gamma \; x \in A \cap B_{\gamma}$

  $\Leftrightarrow$  $x \in \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} (A \cap B_{\gamma})$

  $\therefore$  $A \cap (\bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}) = \bigcup_{\gamma \in \Gamma}^{} (A \cap B_{\gamma})$

 

  $x \in A \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma})$

  $\Leftrightarrow$  $x \in A \vee x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}$

  $\Leftrightarrow$  $x \in A \vee \forall \gamma \in \Gamma \; x \in B_{\gamma}$

  $\Leftrightarrow$  $\forall \gamma \in \Gamma \; x \in A \cup B_{\gamma}$

  $\Leftrightarrow$  $x \in \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} (A \cup B_{\gamma})$

  $\therefore$  $A \cup (\bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} B_{\gamma}) = \bigcap_{\gamma \in \Gamma}^{} (A \cup B_{\gamma})$