명제와 결합자

 

정의1

명제는 참, 거짓 중 어느 한 경우이며 동시에 양쪽은 아닌 서술(주장)을 뜻한다.

단순명제 : $(p, q, r, \cdots)$

합성명제 : 둘 이상의 단순 명제들이 결합된 명제 $(P, Q, R, \cdots)$

 

 

 

정의2

결합자는 명제들을 연결하여 합성명제를 구성하는 방법을 뜻한다. 

총 5가지가 있다. 나머지 2개는 정의4에서 설명한다.

1. $\sim p$ : $p$의 부정,  $p$가 아니다,  $\mathrm{not} \; p$

2. $p \wedge q$ : $p$와 $q$의 논립곱,  $p$ 그리고 $q$,  $p \; \mathrm{and} \; q$

3. $p \vee q$ : $p$와 $q$의 논립합,  $p$ 또는 $q$,  $p \; \mathrm{or} \; q$

 

 

 

정의3

두 명제 $P, Q$에 대하여 진리표가 같을 때 $P$와 $Q$는 (논리적)동치라 하고 $P \equiv Q$로 나타낸다.

 

 

 

정의4

나머지 두 결합자

4. $p \rightarrow q$ : 조건문,  $p$이면 $q$,  $\mathrm{if} \; p \; \mathrm{then} \; q$  ($\rightarrow$ : 조건부라 한다.)

$p \rightarrow q \equiv \; \sim(p \wedge \sim q)$로 정의한다.

경우	$p$	$q$	$p \rightarrow q$
1	$T$	$T$	$T$
2	$T$	$F$	$F$
3	$F$	$T$	$T$
4	$F$	$F$	$T$

 

5. $p \leftrightarrow q$ : 쌍조건문,  $p$이면 그리고 이때에만 $q$,  $p \; \text{if and only if} \; q$  ($\leftrightarrow$ : 쌍조건부라 한다.)

$p \leftrightarrow q \equiv (p \rightarrow q) \wedge (q \rightarrow p)$로 정의한다

경우	$p$	$q$	$p \rightarrow q$
1	$T$	$T$	$T$
2	$T$	$F$	$F$
3	$F$	$T$	$F$
4	$F$	$F$	$T$

 

 

우선순위

1. $\sim$

2. $\wedge, \vee$

3. $\rightarrow, \leftrightarrow$

 

 

 

정의5

조건문 $p \rightarrow q$에 대하여

$q \rightarrow p$ : $p \rightarrow q$의 역

$\sim p \rightarrow \sim q$ : $p \rightarrow q$의 이

$\sim q \rightarrow \sim p$ : $p \rightarrow q$의 대우

이라 한다.