멱급수의 특징

 

정리1

멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$의 수렴반경을 $R = \displaystyle \lim_{n \to \infty } \left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right| > 0$ ($R = \infty$일 경우도 포함)이라고 하자.

$\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$은 임의의 점 $x \in (-R, R)$에서 절대수렴한다.

 

  임의의 $x \in \mathbb{R} $에 대하여,

  $c_{n} = a_{n}x^{n}$이라고 하자.

  비 판정법에 의해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty } \left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}} \right| = \displaystyle \lim_{n \to \infty } \left|\frac{a_{n+1}x}{a_{n}} \right| =\frac{\left|x \right| }{R} < 1 $일 때 절대수렴한다.

  $\therefore$  $\left|x \right| < R$일 때 절대수렴한다.

 

 

 

정리2

멱급수 $\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$이 수렴구간 $(-R, R) \; (R >0)$ 위에서 함수 $f$에 수렴하면 $f$는 $(-R, R) $ 위에서 연속이다.

 

  $(-R, R)$은 open set이므로 임의의 $x \in (-R, R)$에 대하여, 적당한 $c \in \mathbb{R}$가 존재하여

  $\left|x \right| < c < R $

  을 만족한다.

  즉, $[-c, c] \subset (-R, R) $이다.

 

  임의의 $\varepsilon > 0$을 택하자.

  위의 정리1에 의해$f(c)$는 절대수렴하므로 급수에 관한 코시수렴판정법에 의해 적당한 $ N \in \mathbb{N}$이 존재하여

  $n \geq m \geq N$  $\Rightarrow$  $\left|\sum_{k=m+1}^{n} \left|a_{k}c^{k} \right|\right| = \sum_{k=m+1}^{n} \left|a_{k}c^{k} \right| < \varepsilon $

  을 만족한다.

  $f_{n}(x) = \sum_{k=0}^{n }a_{k}x^{k}$라 하자.

 

  $\therefore$  $n \geq m \geq N, \; x \in [-c, c] $  $\Rightarrow$  $\left|f_{n}(x) - f_{m}(x) \right|$

                                                             $= \left| \sum_{k=m+1}^{n} a_{k}x^{k} \right|$

                                                             $\leq \sum_{k=m+1}^{n} \left|a_{k}x^{k} \right|$

                                                             $\leq \sum_{k=m+1}^{n} \left|a_{k}c^{k} \right| < \varepsilon $

  따라서 함수열의 평등수렴에 관한 코시판정법에 의해 함수열 $\left<f_{n} \right>$은 $[-c, c]$ 위에서 $f$에 평등수렴한다.

  (수열-함수열의 평등수렴에 대한 코시판정법편 정리1 참고)

  함수열 $\left<f_{n} \right>$은 연속함수열이므로 $f$는 $[-c, c]$ 위에서 연속이다.

  (수열-평등수렴하는 연속함수열의 특징편 정리1 참고)

  $\therefore$  $f$ continuous at $x $

  이때 $x$는 $(-R, R)$의 임의의 점이었으므로

  $\therefore$  $f$ continuous on $(-R, R) $